安徽省合肥市蜀山区琥珀联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

这是一份安徽省合肥市蜀山区琥珀联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题，共22页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 若是方程的一个根，则的值为（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，5，6C. ，，D. 5，12，13
4. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C 没有实数根D. 无法判断有无实数根
5. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 1B. 6C. D.
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
8. 分式方程的根为（ ）
A. 或2B. 或1C. D. 2
9. 如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（ ）
A. 12B. 10C. D.
10. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（ ）
A. 210B. 100C. 78D. 45
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：__________．
12. 方程的解是___________．
13. 如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______．
14. 如图，等边中，，为边上的高，为上的一动点，点绕点顺时针旋转得到点，连接．
（1）若，则______；（用含的式子表示）
（2）的最小值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 用配方法解一元二次方程：．
16. 计算：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 设，是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值．
18. 《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）若方程一个根为2，求方程的另一个根；
（2）当时，求实数取值范围．
20. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点．
（1）在图1中，试判断格点的形状，并证明；
（2）在图2中，画出长为的线段．
六、（本题满分12分）
21. 在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：；
．
【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方；
【拓展】（2）运用上述方法化简：；
【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值．
七、（本题满分12分）
22. 为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地农特产品，成本价为50元/件，直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件．
（1）若第三天销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率；
（2）若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件，求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿轴正方向运动，设运动时间为秒，请解答以下问题：
（1）求的长；
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）当为直角三角形时，直接写出的值．
八年级数学（沪科版）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故选：D．
2. 若是方程的一个根，则的值为（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，据此利用整体代入法计算求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，5，6C. ，，D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及勾股数，熟知勾股定理及勾股数的定义是正确解答此题的关键．
根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可．
【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意；
B、，故不是勾股数，不符合题意；
C、，，不整数，故，，不是勾股数，不符合题意；
D、，且都是整数，故是勾股数，符合题意，
故选：D．
4. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断有无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，先计算根的判别式，再根据根的判别式进行判断即可．熟练掌握一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解本题的关键．
【详解】解：，
一元二次方程没有实数根．
故选：C．
5. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【详解】解：A、与被开方数相同，是同类二次根式，故A选项正确；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式，故B选项错误；
C、与被开方数不同，故不是同类二次根式，故C选项错误；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式，故D选项错误．
故选：A．
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 1B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：C．
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定，再根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提．
【详解】解：由于二次根式有意义，
所以，
所以，
故选：B．
8. 分式方程的根为（ ）
A. 或2B. 或1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查解分式方程，解一元二次方程，利用了转化的思想，熟练掌握知识点是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
或，
解得：或，
经检验，当时，，则是增根；
当时，，则原分式方程的解为，
故选：C．
9. 如图，在中，，，是边上中线，且，则的长为（ ）
A. 12B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（ ）
A. 210B. 100C. 78D. 45
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键．
【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，
前行的点数和，
A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意；
B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意；
C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意；
D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：__________．
【答案】>
【解析】
【分析】将两数平方后比较大小，可得答案．
【详解】∵，，18>12，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查比较无理数的大小，无理数的比较常用平方法．
12. 方程的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．方程右边整体移项到左边，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：方程移项得：，
分解因式得：，
可得，或，
解得：．
故答案为：．
13. 如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______．
【答案】##10米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长应是，则的长为，根据饲养室的面积达到．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设的长应是，则的长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
故答案为：．
14. 如图，等边中，，为边上的高，为上的一动点，点绕点顺时针旋转得到点，连接．
（1）若，则______；（用含的式子表示）
（2）的最小值为______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】（1）求得为等边三角形，得到，再利用三角形的外角性质得到答案；
（2）证明，求得；推出点F在定直线上，过点D作定直线的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：（1）连接，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵点绕点顺时针旋转得到点，连接，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵和是等边三角形，
∵，，
∴，
，
∴，
在和中，
，
∴，
；
∴点F在定直线上，
过点D作定直线的对称点G，连，
∴为等边三角形，为的中垂线，，
∴，
连接，
∴，
又，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 用配方法解一元二次方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，先运用二次根式的性质进行化简，再运算乘方、然后运算乘除，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 设，是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：由题得：，，
∴
．
18. 《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺）
【答案】竹子折断处离地面有4.2尺．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹子折断处离地面有尺，在中，利用勾股定理进行求解即可．
详解】解：设竹子折断处离地面有尺，
由题意得：，，，，
∴，
则：，
解得：．
答：竹子折断处离地面有4.2尺．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
（2）当时，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟记相关公式是解题的关键．
（1）利用根与系数的关系可得另外一根；
（2）把代入，再利用根的判别式，列出不等式，即可解答．
【小问1详解】
解：设方程的另一个根为，
则，
∴；
【小问2详解】
解：当时，方程为，
关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得．
20. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点．
（1）在图1中，试判断格点的形状，并证明；
（2）在图2中，画出长为的线段．
【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证明，据此可得结论；
（2）两直角边分别为5和3的直角三角形的斜边长为，据此画线段即可．
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，证明如下：
∵每个小正方形的边长都是1，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求．
六、（本题满分12分）
21. 在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：；
．
【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方；
【拓展】（2）运用上述方法化简：；
【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）8或16．
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的化简、完全平方公式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）仿照所给的方法求解即可；
（2）将化成，再代入求解；
（3）利用所给方法进行分析，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴；
（3）①当，，
②当，．
综上所述，或．
七、（本题满分12分）
22. 为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件，直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件．
（1）若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率；
（2）若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件，求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？
【答案】（1）第二天、第三天日销售利润的平均增长率为；
（2）售价应定为65元或63元．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设第二天、第三天日销售利润的平均增长率，根据第三天的销售利润为2500元，列出一元二次方程求解即可；
（2）设应降价元，根据售价每降低1元，日销售量增加10件，日销售利润为1950元列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设第二天、第三天日销售利润的平均增长率，
则，
解得：， （舍去），
答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为25%；
【小问2详解】
解：设应降价元，
则，
解得：，，
答：售价应定为65元或63元．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿轴正方向运动，设运动时间为秒，请解答以下问题：
（1）求的长；
（2）当为等腰三角形时，求值；
（3）当为直角三角形时，直接写出的值．
【答案】（1）5； （2）5或8或；
（3）4或．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，图形与坐标，等腰三角形的定义，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可解答；
（2）分类讨论，分三种，利用勾股定理和等腰三角形的定义即可解答；
（3）分类讨论，分，利用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：根据勾股定理，；
【小问2详解】
解：由题意可得，
轴，点的坐标为，
，
，，
如图，时，
，
轴，
，
，即；
如图，时，
，
，
根据勾股定理，，
，
，
解得；
如图，当时，，
，
综上，的值为5或8或；
【小问3详解】
解：不等于，
分两种情况，
当时，
点与点重合，；
当时，如图，
，
此时，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
综上，的值为或．