【数学】四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（解析版）

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11月期中考试数学试题
一、单选题（共40分）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线的斜率为，对应的倾斜角为. 故选：B
2. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为,是定义在上的偶函数，
所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意；
因为是定义在上单调递增的奇函数，
所以当实数满足时，则，故符合题意；
因为在上单调递减，
所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意. 故选：.
3. 直线：和：垂直，则实数
A -1B. 1C. -1或1D. 3
【答案】A
【解析】因为直线：和：垂直（不合题意），
两直线的斜率分别为，所以，解得a=-1，故选A.
4. ，“直线和直线平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意，则，，因此题中应为充分必要条件．故选：C．
5. 已知ΔABC的内角所对的边分别为，若,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
即
得，因为，所以，
化为，得，故选D.
6. 若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. -1B. 0C. D. 1
【答案】C
【解析】解：作出，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：
由于可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小，
作直线，然后把直线向平面区域平移，
由图可知，直线平移到点时，最小，由可得，
即当直线经过点时，取得最小值，
所以. 故选：C.
7. 设k为实数，直线与圆交点个数为（ ）
A. 0B. 1
C. 2D. 无法确定
【答案】C
【解析】由，即直线恒过，而圆可化为，
所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C
8. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于直线与直线垂直，不妨设直线的方程为，
圆心坐标为，将圆心坐标代入直线的方程得，解得.
因此，直线的方程为. 故选：A.
二、多选题（共18分）
9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 的周长为6
C. 若，则的面积为3
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对A，由题意，，故，，故A正确；
对B，的周长为，故B正确；
对C，，
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理
，即，
解得，故，故D正确； 故选：ABD
10. 已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点在棱上运动，则的最小值为
B. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为
C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D. 若点在直线上运动，则到直线的最小距离为
【答案】BCD
【解析】A项，如图将平面展开与平面处于一个平面，连接与交于点
由图形知，当且仅当三点共线时，等号成立.
即此时取得最小值，即，故A错误；

B项，如图取的中点，连接，因为点是棱的中点，所以且，又且，所以四边形为平行四边形
所以，所以，则四点共面，
所以平面四边形即为平面截正方体所得截面，
又，，
所以截面周长为，故B正确；

C项，如图，平面平面，
所以，又平面，
所以平面，又，
故过与垂直的直线在过与直线垂直的平面内，
因为平面平面平面，且平面，
所以在直线上，即动点的轨迹是一条直线，故C正确；

D项，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，设，所以，
，则，
，，
所以到棱的距离，
所以当时，故D正确；
故选：BCD.

11. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】根据题意，设，
对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，
即，所以A错误；
对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，
所以，
又由余弦定理得，
可得，所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，因为，所以，由可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共15分）
12. 点到直线l：的距离是_______.
【答案】1
【解析】点到直线的距离：. 故答案为：
13. 正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于____________．
【答案】
【解析】如图所示，
取的中点为，底面中心为，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以，
中，，底面为正方形，故，
所以是二面角的平面角，即，
又在中，，所以，即该四棱锥的高为. 故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原点的距离的最大值为___________．
【答案】
【解析】解：记，圆经过点O，A，B．则，，，所以，故为圆的直径．从而圆上的点到原点O的距离的最大值为． 故答案为：
四、解答题（共77分）
15. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
（1）的倾斜角为60°，经过点，；
（2）平行于y轴，经过点，．
解：（1）由题意，知直线的斜率，直线的斜率，
所以，所以或与重合．
（2）由题意，知是y轴所在的直线，所以．
16. 为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表：
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；
（2）预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失．
参考公式：，，参考数据：．
解：（1）由表中数据知， ∴
即， ∴所求回归直线方程为.
（2） 令，则人. 令得
答：预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为21，故估计经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.
17. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值．
解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以①，
又因为点在双曲线上，所以②，
②联立解得，所以双曲线的方程为．
（2）由（1）可知双曲线中，
所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2，
又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即，
联立得，设，则，
所以．
18. 在直三棱柱中，，为的中点
（I）求证：平面⊥平面；
（II）求直线与平面所成角的大小；
（III）求二面角的大小．
（I）证明：在△ABC中，由余弦定理，得，BC＝，
为直三棱柱，平面．
平面，平面平面．
解：（II），由（I）知，平面
为直线与平面所成的角．
在中，＝＝，
故直线DA1与平面所成角为
（III）过C作CH⊥DC1，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC1⊥AH，从而∠AHC为二面角A﹣DC1﹣C的平面角．
Rt△CDC1中，CD＝BC＝，CH＝＝，tan∠AHC＝.
故二面角A﹣DC1﹣C大小为arctan．
19. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
解：（1）∵，且过点，，又，解得，
∴椭圆的标准方程.
（2）（i）若的斜率不存在，则，，此时
（ii）若的斜率存在，设，，设的方程为：，
，
由韦达定理得：， ，，
∴
所以：=1.
另解：（2）当直线AB的斜率为0时，，
直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则：
，
，
则：， ，
所以：=1.
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
100
85
80
70
65