四川省泸州市龙马潭区2024_2025学年高二数学上学期11月期中试题含解析 (1)

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2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单选题（共40分）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】求得斜率，然后求得倾斜角.
【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为.
故选：B
2. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的性质判断即可.
【详解】因为,是定义在上的偶函数，
所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意；
因为是定义在上单调递增的奇函数，
所以当实数满足时，则，故符合题意；
因为在上单调递减，
所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意.
故选：.
【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小.对于选择题我们一般采用排除法.
3. 直线：和：垂直，则实数
A -1B. 1C. -1或1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】不合题意，由方程求出两直线的斜率，利用斜率之积为即可得结果.
【详解】因为直线：和：垂直（不合题意），
两直线的斜率分别为，
所以，解得a=-1，故选A.
【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，在斜率存在的前提下， （），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
4. ，“直线和直线平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】求出两直线平行时的值，再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】由题意，则，，
因此题中应为充分必要条件．
故选：C．
5. 已知ΔABC的内角所对的边分别为，若,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可.
【详解】由，
得，
即
，
得，
因为，
所以，
化为，得，故选D.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
6. 若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. -1B. 0C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】作出满足不等式组的可行域，由可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小，结合图形可求的最小值.
【详解】解：作出，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：
由于可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小，
作直线，然后把直线向平面区域平移，
由图可知，直线平移到点时，最小，
由可得，
即当直线经过点时，取得最小值，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用目标函数的几何意义求最值，属于基础题．
7. 设k为实数，直线与圆交点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数.
【详解】由，即直线恒过，而圆可化为，
所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点.
故选：C
8. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线的方程为，将圆心坐标代入直线的方程，求出的值，即可得解.
【详解】由于直线与直线垂直，不妨设直线的方程为，
圆心坐标为，将圆心坐标代入直线的方程得，解得.
因此，直线的方程为.
故选：A.
二、多选题（共18分）
9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 的周长为6
C. 若，则的面积为3
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．
【详解】对A，由题意，，故，，故A正确；
对B，的周长为，故B正确；
对C，，
，当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理
，即，
解得，故，故D正确；
故选：ABD
10. 已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点在棱上运动，则的最小值为
B. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为
C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D. 若点在直线上运动，则到直线的最小距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A项，由展开图转化为平面两点间距离最短问题可得最小值；B项，先作辅助线取中点找截面，由平行四边形得线线平行，利用中位线的平行关系及空间平行的传递性证明所找截面即为所求，进而求周长可得；C项，利用“过一点与已知直线垂直的直线在过该点与已知直线垂直的平面内”结论，可得两平面的交线即为轨迹；D项，建立空间直角坐标系，求利用向量方法点线距可得.
【详解】A项，如图将平面展开与平面处于一个平面，
连接与交于点，
由图形知，当且仅当三点共线时，等号成立.
即此时取得最小值，
即，故A错误；

B项，如图取的中点，连接，
因为点是棱的中点，所以且，
又且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，则四点共面，
所以平面四边形即为平面截正方体所得截面，
又，，
所以截面周长为，故B正确；

C项，如图，平面平面，
所以，又平面，
所以平面，又，
故过与垂直的直线在过与直线垂直的平面内，
因为平面平面平面，且平面，
所以在直线上，
即动点的轨迹是一条直线，故C正确；

D项，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，设，所以，
，则，
，，
所以到棱的距离，
所以当时，故D正确；
故选：BCD.

11. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D.
【详解】根据题意，设，
对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，
即，所以A错误；
对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，
所以，
又由余弦定理得，
可得，
所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，因为，所以，
由可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共15分）
12. 点到直线l：的距离是_______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】点到直线的距离：
.
故答案为：
13. 正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出直观图，根据二面角的平面角的定义，找到其平面角为，在计算即为四棱锥的高.
【详解】如图所示，
取的中点为，底面中心为，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以，
中，，底面为正方形，故，
所以是二面角的平面角，即，
又在中，，所以，即该四棱锥的高为.
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原点的距离的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件计算出经过三点的圆的直径，即可计算出圆上的点到原点距离最大值.
【详解】解：记，圆经过点O，A，B．则，，，所以，故为圆的直径．从而圆上的点到原点O的距离的最大值为．
故答案为：
四、解答题（共77分）
15. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
（1）的倾斜角为60°，经过点，；
（2）平行于y轴，经过点，．
【答案】（1）或与重合
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两直线的斜率关系即可判断位置关系，
（2）根据两直线均无斜率即可判断位置关系.
【小问1详解】
由题意，知直线的斜率，
直线的斜率，
所以，所以或与重合．
【小问2详解】
由题意，知是y轴所在的直线，所以．
16. 为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表：
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；
（2）预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失．
参考公式：，，参考数据：．
【答案】（1）；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为29，经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.
【解析】
【分析】
（1）首先求，，根据参考公式，分别求和，求解回归直线方程；（2）令代入回归直线方程，求的预报值，并令，求.
【详解】（1）由表中数据知，
∴

即，
∴所求回归直线方程为.
（2） 令，则人.
令得
答：预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为21，故估计经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.
17. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于的方程组，由此求解出即可知C的标准方程；
（2）根据条件先求出的方程，然后联立与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将表示为坐标形式即可求解出结果.
【小问1详解】
因为双曲线的渐近线方程为，所以①，
又因为点在双曲线上，所以②，
①②联立解得，所以双曲线的方程为．
【小问2详解】
由（1）可知双曲线中，
所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2，
又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即，
联立得，
设，则，
所以．
18. 在直三棱柱中，，为的中点．
（I）求证：平面⊥平面；
（II）求直线与平面所成角的大小；
（III）求二面角的大小．
【答案】（I）见解析；（II）arctan；（III）arctan
【解析】
【分析】（I）平面中有直线，可证明垂直平面中两条相交直线，则垂直平面，即可证明；
（II）要求直线与平面所成角，只需求直线与她在平面内的射影所成角即可，先在直线上找一点，过该点向平面作垂线，再连接斜足和垂足，所得直线为射影，把直线与它在平面内的射影放入同一个三角形中，利用解三角形，求出线面角．
（III）求二面角的平面角的大小，可用三垂线法找到二面角的平面角，再放到一个三角形中，通过解三角形，得出结果．
【详解】
（I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC＝，
为直三棱柱，平面．
平面，平面平面．
（II），由（I）知，平面为直线与平面所成的角．
在中，＝＝，
故直线DA1与平面所成角为
（III）过C作CH⊥DC1，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC1⊥AH，从而∠AHC为二面角A﹣DC1﹣C的平面角．
Rt△CDC1中，CD＝BC＝，CH＝＝，tan∠AHC＝.
故二面角A﹣DC1﹣C大小为arctan．
【点睛】本题考查了直棱柱的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角的求法等有关知识，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.
19. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）是，=1.
【解析】
分析】（1）根据和过点求解；
（2）（i）若的斜率不存在，易知的值，（ii）若的斜率存在，设的方程为：，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理求解；另解：当直线AB的斜率不为0时，可设直线AB为：，解法同上.
详解】（1）∵，
且过点，，
又，
解得，
∴椭圆的标准方程.
（2）（i）若的斜率不存在，则，，
此时，
（ii）若的斜率存在，设，，设的方程为：，
，
由韦达定理得：， ，
，
∴

所以：=1.
另解：（2）当直线AB的斜率为0时，，
直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则：
，
，
则：，
，
所以：=1.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
100
85
80
70
65