四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了 ，“直线和直线平行”是“”的， 设k实数，直线与圆交点个数为等内容，欢迎下载使用。

数学试题
注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单选题（共40分）
1. 直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得斜率，然后求得倾斜角.
直线斜率为，对应的倾斜角为.
故选：B
2. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的性质判断即可.
因为,是定义在上的偶函数，
所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意；
因为是定义在上单调递增的奇函数，
所以当实数满足时，则，故符合题意；
因为在上单调递减，
所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意.
故选：.
【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小.对于选择题我们一般采用排除法.
3. 直线：和：垂直，则实数
A. -1B. 1C. -1或1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】不合题意，由方程求出两直线的斜率，利用斜率之积为即可得结果.
因为直线：和：垂直（不合题意），
两直线的斜率分别为，
所以，解得a=-1，故选A.
【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，在斜率存在的前提下， （），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
4. ，“直线和直线平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】求出两直线平行时的值，再根据充分必要条件的定义判断．
由题意，则，，
因此题中应为充分必要条件．
故选：C．
5. 已知ΔABC的内角所对的边分别为，若,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可.
由，
得，
即
，
得，
因为，
所以，
化为，得，故选D.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
6. 若，满足约束条件，则的最小值为（）
A. -1B. 0C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】作出满足不等式组可行域，由可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小，结合图形可求的最小值.
解：作出，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：
由于可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小，
作直线，然后把直线向平面区域平移，
由图可知，直线平移到点时，最小，
由可得，
即当直线经过点时，取得最小值，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用目标函数的几何意义求最值，属于基础题．
7. 设k实数，直线与圆交点个数为（）
A. 0B. 1C. 2D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数.
由，即直线恒过，而圆可化为，
所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点.
故选：C
8. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线的方程为，将圆心坐标代入直线的方程，求出的值，即可得解.
由于直线与直线垂直，不妨设直线的方程为，
圆心坐标为，将圆心坐标代入直线的方程得，解得.
因此，直线的方程为.
故选：A.
二、多选题（共18分）
9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（）
A. 椭圆的离心率为
B. 的周长为6
C. 若，则的面积为3
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．
对A，由题意，，故，，故A正确；
对B，的周长为，故B正确；
对C，，
，当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理
，即，
解得，故，故D正确；
故选：ABD
10. 已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（）
A. 若点在棱上运动，则的最小值为
B. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为
C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D. 若点在直线上运动，则到直线的最小距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A项，由展开图转化为平面两点间距离最短问题可得最小值；B项，先作辅助线取中点找截面，由平行四边形得线线平行，利用中位线的平行关系及空间平行的传递性证明所找截面即为所求，进而求周长可得；C项，利用“过一点与已知直线垂直的直线在过该点与已知直线垂直的平面内”结论，可得两平面的交线即为轨迹；D项，建立空间直角坐标系，求利用向量方法点线距可得.
A项，如图将平面展开与平面处于一个平面，
连接与交于点，
由图形知，当且仅当三点共线时，等号成立
即此时取得最小值，
即，故A错误；
B项，如图取的中点，连接，
因为点是棱的中点，所以且，
又且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，则四点共面，
所以平面四边形即为平面截正方体所得截面，
又，，
所以截面周长为，故B正确；
C项，如图，平面平面，
所以，又平面，
所以平面，又，
故过与垂直的直线在过与直线垂直的平面内，
因为平面平面平面，且平面，
所以在直线上，
即动点的轨迹是一条直线，故C正确；
D项，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，设，所以，
，则，
，，
所以到棱的距离，
所以当时，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D.
根据题意，设，
对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，
即，所以A错误；
对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，
所以，
又由余弦定理得，
可得，
所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，因为，所以，
由可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共15分）
12. 点到直线l：的距离是_______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.
点到直线的距离：
.
故答案为：
13. 正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出直观图，根据二面角的平面角的定义，找到其平面角为，在计算即为四棱锥的高.
如图所示，
取的中点为，底面中心为，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以，
中，，底面为正方形，故，
所以是二面角的平面角，即，
又在中，，所以，即该四棱锥的高为.
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原点的距离的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件计算出经过三点的圆的直径，即可计算出圆上的点到原点距离最大值.
解：记，圆经过点O，A，B．则，，，所以，故为圆的直径．从而圆上的点到原点O的距离的最大值为．
故答案为：
四、解答题（共77分）
15. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
（1）的倾斜角为60°，经过点，；
（2）平行于y轴，经过点，．
【答案】（1）或与重合
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两直线的斜率关系即可判断位置关系，
（2）根据两直线均无斜率即可判断位置关系.
【小问1】
由题意，知直线的斜率，
直线的斜率，
所以，所以或与重合．
小问2】
由题意，知是y轴所在的直线，所以．
16. 为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表：
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；
（2）预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失．
参考公式：，，参考数据：．
【答案】（1）；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为29，经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.
【解析】
【分析】
（1）首先求，，根据参考公式，分别求和，求解回归直线方程；（2）令代入回归直线方程，求的预报值，并令，求.
（1）由表中数据知，
∴
即，
∴所求回归直线方程为.
（2）令，则人.
令得
答：预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为21，故估计经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.
17. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于的方程组，由此求解出即可知C的标准方程；
（2）根据条件先求出的方程，然后联立与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将表示为坐标形式即可求解出结果.
【小问1】
因为双曲线的渐近线方程为，所以①，
又因为点在双曲线上，所以②，
①②联立解得，所以双曲线的方程为．
【小问2】
由（1）可知双曲线中，
所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2，
又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即，
联立得，
设，则，
所以．
18. 在直三棱柱中，，为的中点．
（I）求证：平面⊥平面；
（II）求直线与平面所成角的大小；
（III）求二面角的大小．
【答案】（I）见解析；（II）arctan；（III）arctan
【解析】
【分析】（I）平面中有直线，可证明垂直平面中两条相交直线，则垂直平面，即可证明；
（II）要求直线与平面所成角，只需求直线与她在平面内的射影所成角即可，先在直线上找一点，过该点向平面作垂线，再连接斜足和垂足，所得直线为射影，把直线与它在平面内的射影放入同一个三角形中，利用解三角形，求出线面角．
（III）求二面角的平面角的大小，可用三垂线法找到二面角的平面角，再放到一个三角形中，通过解三角形，得出结果．
（I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC＝，
为直三棱柱，平面．
平面，平面平面．
（II），由（I）知，平面为直线与平面所成的角．
在中，＝＝，
故直线DA1与平面所成角为
（III）过C作CH⊥DC1，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC1⊥AH，从而∠AHC为二面角A﹣DC1﹣C的平面角．
在Rt△CDC1中，CD＝BC＝，CH＝＝，tan∠AHC＝.
故二面角A﹣DC1﹣C大小为arctan．
【点睛】本题考查了直棱柱的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角的求法等有关知识，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.
19. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）是，=1.
【解析】
【分析】（1）根据和过点求解；
（2）（i）若的斜率不存在，易知的值，（ii）若的斜率存在，设的方程为：，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理求解；另解：当直线AB的斜率不为0时，可设直线AB为：，解法同上.
（1）∵，
且过点，，
又，
解得，
∴椭圆的标准方程.
（2）（i）若的斜率不存在，则，，
此时，
（ii）若的斜率存在，设，，设的方程为：，
，
由韦达定理得：，，
，
∴
所以：=1.
另解：（2）当直线AB的斜率为0时，，
直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则：
，
，
则：，
，
所以：=1.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
100
85
80
70
65