安徽省合肥市第五十中学西校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

这是一份安徽省合肥市第五十中学西校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列二次根式：是最简二次根式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
5. 对于一元二次方程，则下列叙述正确的是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个不相等实数根
C. 两根之积是D. 两根之和是4
6. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ）
A 8B. C. D. 1
7. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D.
8. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绸索，绳索从木柱上端顺木桂下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部9尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在Rt中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，中，垂直于点，且上方有一动点满足，则最小值为（ ）
A B. C. D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若式子在实数范围内有意义，则应满足的条件是___________．
12. 已知正n边形的一个内角是，则边数n的值是________
13 若a＜1，化简＝___．
14. 将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为___________ ．
15. 已知 ， 为一元二次方程 的两根，那么 的值为________.
16. 如图，有一个矩形纸片，，，E是边上一点，沿着折叠该纸片，得点A的对应点为F，延长与边相交于点G，且G为边的中点．
（Ⅰ）线段的长为_______；
（Ⅱ）线段的长为_______．
三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算题：
（1）
（2）
18. 解下列方程：
（1）
（2）
19. 如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，，，
（1）请在网格中画出；
（2）过点C作于D，求的长．
20. 定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．
根据以上知识解决问题：
（1），求；
（2）若的值小于0，请判断方程：的根的情况．
21 先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
（3）计算：
22. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
23. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接．
（1）当秒时，求的长度（结果保留根号）；
（2）当点在线段的垂直平分线上时，求的值；
（3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？
八年级数学练习
（满分：100分时间：90分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列二次根式：是最简二次根式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】利用最简二次根式的定义:(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可．
【详解】是最简二次根式的有，．
故选：A
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，运用二次根式的性质以及二次根式的运算法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是符合题意；
B、不是同类项，并不能合并，故该选项是不符合题意；
C、，故该选项是不符合题意；
D、，，故该选项是不符合题意；
故选：A
3. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移到等式右边，再根据完全平方公式进行配方，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即：，
故选：D ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．
4. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】A、∵∠A=∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵，∴，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=，故不能判定△ABC是直角三角形；
D、∵，故能判定△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
5. 对于一元二次方程，则下列叙述正确的是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 两根之积是D. 两根之和是4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，韦达定理，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键；
根据一元二次方程根的判别式，判断A选项和B选项，利用韦达定理，判断C和D选项，即可求解；
【详解】解：∵，
∴，
故有两个相等的实数根，
故A和B选项不符合题意；
则，；
即两根之积是4，两根之和是4；
故选：D
6. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ）
A. 8B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，
∴，
∴，
∴按此手势解锁一次的路径长为：．
故选：B．
7. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得．
【详解】解：根据题意将代入方程可得：，
解得：或，
∵是一元二次方程，
∴，即，
∴，
故选：B．
8. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绸索，绳索从木柱上端顺木桂下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部9尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
9. 如图，在Rt中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作的延长线于点，
则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．
10. 如图，中，垂直于点，且上方有一动点满足，则最小值为（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理，三角形面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由三角形面积关系得出P在与平行，且到的距离为的直线l上，，作点B关于直线l的对称点，连接交l于P，则，，此时点P到B、C两点距离之和最小，作于M，则，最后结合勾股定理列式计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴P在与平行，且到的距离为的直线l上，且，
作点B关于直线l的对称点，连接交l于P，则，，
此时点P到B、C两点距离之和最小，即是最小值；
作于M，
则，
∵，
∴，
在中，，
∴最小值为，
故答案为：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若式子在实数范围内有意义，则应满足的条件是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 已知正n边形的一个内角是，则边数n的值是________
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，正n边形的内角和为，再根据每个内角的度数为建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
13. 若a＜1，化简＝___．
【答案】﹣a
【解析】
【分析】根据a的范围，a﹣1＜0，化简二次根式即可．
【详解】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
＝|a﹣1|﹣1
＝﹣（a﹣1）﹣1
＝﹣a＋1﹣1
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，对于的化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即．
14. 将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为___________ ．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意表示出长方体的长和宽，进而表示出长方体的体积即可．再解得或，本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用，正确表示长方体的棱长是解题的关键．
【详解】解：由题意得：长方体的长为 ，宽为
则根据题意 ，
整理得：；
解得或，
故答案为：或
15. 已知 ， 为一元二次方程 的两根，那么 的值为________.
【答案】11
【解析】
【分析】根据a与b为方程的两根，把x=a代入方程，并利用根与系数的关系求出所求即可．
【详解】解：∵ ， 为一元二次方程 的两根
∴a+b=-2， ，即
∴ ．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
16. 如图，有一个矩形纸片，，，E是边上一点，沿着折叠该纸片，得点A的对应点为F，延长与边相交于点G，且G为边的中点．
（Ⅰ）线段的长为_______；
（Ⅱ）线段的长为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理列方程进行解答是解题的关键．
（Ⅰ）根据折叠的性质，可得，利用勾股定理求得的值，即可解答；
（Ⅱ）连接，设，利用勾股定理列方程，即可解答．
【详解】解： 四边形为矩形，
，
G为边的中点，
，
根据勾股定理可得，
根据折叠可得，
；
如图，连接，
设，
根据勾股定理可得，
可得方程，
解得：．
故答案为：；．
三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算题：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用二次根式的乘法以及完全平方公式进行运算，再进行加减运算，即可作答．
（2）先化简零次幂、负整数指数幂、算术平方根、绝对值，然后运算加减，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
18. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解一元二次方程，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，
∴ 移项得，
∴配方得，
∴，
∴
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∴
∴，
∴，．
19. 如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，，，
（1）请在网格中画出；
（2）过点C作于D，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用数形结合的思想画出三角形即可．
（2）利用面积法以及勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，即为所求．
（2），，
，
在中，．
【点睛】本题考查作图应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20. 定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．
根据以上知识解决问题：
（1），求；
（2）若的值小于0，请判断方程：的根的情况．
【答案】（1）
（2）方程有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．
（1）根据新定义得出，解之可得答案；
（2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴
，即，
∴
解得：，，
∴的值为；
【小问2详解】
解：∵的值小于0，
，
解得：．
在方程中，，
方程有两个不相等的实数根．
21 先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
（3）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键．
（1）根据题目所给例题可知可化为，计算即可得出答案；
（2）利用根据前面等式的规律求解；
（3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意可得：
【小问2详解】
第n个式子为：；
【小问3详解】
．
22. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元
【解析】
【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；
(2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得
；
解得：，（舍去）
答：这个降价率为10%
（2）设每千克水果应涨价元，
依题意得方程：，
整理，得，
解这个方程，得，．
要使顾客得到实惠，应取．
答：每千克水果应涨价5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程．
23. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接．
（1）当秒时，求的长度（结果保留根号）；
（2）当点在线段垂直平分线上时，求的值；
（3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？
【答案】（1）
（2）
（3）当t为5或11时，能使
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质：
（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
（2）当点P在线段的垂直平分线上时，则，再根据勾股定理列方程即可求解；
（3）分当点P在C点的左侧时， 当点P在C点的右侧，两种情况利用等面积法求出，再利用勾股定理建立方程求解即可。
【小问1详解】
解：由题意得，当秒时，,
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：当点P在线段的垂直平分线上时，则，
，
∴，，
∠ACB＝90°，
∴由勾股定理得，
∴，
解得；
∴当点P在线段垂直平分线上时；
【小问3详解】
解：当点P在C点的左侧时，．
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍去）；
当点P在C点的右侧，．
同理可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：舍去），；
∴当t为5或11时，能使．