安徽省合肥市五十中学天望岳校区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省合肥市五十中学天望岳校区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了你的数学风采，在于你的合理选择，敏锐的思维，写出简洁的结果，圆满的解答是你萌动的智慧等内容，欢迎下载使用。
一、你的数学风采，在于你的合理选择（每题3分，共30分）
1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. ；3；B. 3；；C. 3；；9D. ；；9
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若二次根式有意义，则x的取值范围（ ）
A. B. C. D.
4. 若关于x的方程的一个根是，则另一个根和m的值分别为（ ）
A 2、B. 、3C. 、D. 3、1
5. 据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 的两边长，，则
B. 中，，则
C. 在中，若三边长为9，40，41，则是直角三角形
D. 勾股数又名毕氏三元数，如、、是勾股数
7. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程有两个相等的实数根B. 方程有一根等于0
C. 方程两根之和等于0D. 方程两根之积等于0
8. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A. ​ B. ​ C. ​ D. ​
9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的正整数a个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 工人师傅从一根长钢条上截取一段后恰好与两根长分别为的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（ ）
A. B. C. 或D.
二、敏锐的思维，写出简洁的结果（每题3分，共15分）
11 比较大小：______（填“”“”或“”）．
12. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝______．
13. 设m，n是一元二次方程两个根，则______．
14. 在中，三边分别为5、、11，则最长边上的高为______．
15. 如图，在中，高相交于点O，若，，，
（1）______；
（2）连接，且平分，则______．
三、圆满的解答是你萌动的智慧（共55分）
16. 计算：
（1）
（2）
17. （1）（用配方法）
（2）
18. 图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，是直角边为1的直角三角形，以的斜边为直角边，长为1的线段为另一直角边，画第二个直角三角形……依此类推．
（1）第一个直角三角形的斜边长为______．
（2）第n个直角三角形的斜边长为______．
（3）求的值．
19. 已知，关于x的方程有两个实数根、．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若、满足，求实数m的值．
20. 在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕．
（1）如果，，可得的周长为______；
（2）如果，可得的度数为______；
操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长．
21. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2090元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
22. 如图，在等腰直角三角形中，．点D在三角形内部，，．

（1）求证：；
（2）若，，，求的长度；
（3）在（2）的条件下，求的值．
2023-2024学年度第二学期数学学科学情调研
（八年级）
一、你的数学风采，在于你的合理选择（每题3分，共30分）
1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. ；3；B. 3；；C. 3；；9D. ；；9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程（其中a、b、c是常数，且），a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此求解即可．
【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3；；，
故选；B．
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的特征：被开方数不含可以开方的因数，被开方数不含有分母，分母不含根号．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数含有被开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含有被开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选；A．
3. 若二次根式有意义，则x的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选：C．
4. 若关于x的方程的一个根是，则另一个根和m的值分别为（ ）
A. 2、B. 、3C. 、D. 3、1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设方程的另一个根为n，则，解之即可得到答案．
【详解】解：设方程的另一个根为n，
由根与系数的关系可得，
∴，
故选：D．
5. 据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x，则可列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设每月比上月增长的百分数为相同的x，则第2个月接待游客约为万人，第3个月接待游客约为万人，再根据3个月累计接待游客约632万人列出对应的方程即可．
【详解】解：设每月比上月增长的百分数为相同的x，
由题意得，，
故选：C．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 的两边长，，则
B. 中，，则
C. 在中，若三边长为9，40，41，则是直角三角形
D. 勾股数又名毕氏三元数，如、、是勾股数
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；若一个三角形中，两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此求解判断即可．
【详解】解：A、的两边长，，则，原说法错误；
B、中，，则或，原说法错误，不符合题意；
C、∵，
∴在中，若三边长为9，40，41，则是直角三角形，原说法正确，符合题意；
D、勾股数又名毕氏三元数，且勾股数要满足都是正整数，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
7. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程有两个相等的实数根B. 方程有一根等于0
C. 方程两根之和等于0D. 方程两根之积等于0
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选：C．
8. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A. ​ B. ​ C. ​ D. ​
【答案】A
【解析】
【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
详解】解：连接AM，
∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM=
=
=4，
又S△AMC=MN•AC=AM•MC，
∴MN=
= ．
故选A．
【点睛】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的正整数a个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得 且，再解不等式组结合为正整数，即可得到答案．
【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根，
且
且．
又为正整数，
，，，
所以满足条件的值有个，
故选：C
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的情况求解参数的范围是解题的关键．
10. 工人师傅从一根长的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的的应用等知识．分两根长分别为的钢条一边为直角边，一边为斜边和都为直角边两种情况分类讨论，求出截下来的钢条，根据总长为进行比较即可求解．
【详解】解：当两根长分别为的钢条一边为直角边，一边为斜边时，截取下来的钢条长为；
当两根长分别为的钢条都为直角边时，截取下来的钢条长为，不合题意．
故选：D
二、敏锐的思维，写出简洁的结果（每题3分，共15分）
11. 比较大小：______（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，分母有理化，把分母有理化即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 若最简二次根式与是可以合并二次根式，则a＝______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可；
【详解】解：∵＝2，
根据题意得：a+1＝2，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．
13. 设m，n是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，再由，进行求解即可．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵设m，n是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 在中，三边分别为5、、11，则最长边上的高为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，过点A作于D，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，则，即最长边上的高为4．
【详解】解：如图所示，中，，
过点A作于D，
设，则，
在中，由勾股定理得
中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴最长边上的高为4，
故答案为：4．
15. 如图，在中，高相交于点O，若，，，
（1）______；
（2）连接，且平分，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
先说明，然后运用勾股定理可求得；如图，过点D作交于点N，根据直角三角形的性质、角的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差求出，最后解直角三角形求解即可．
【详解】解：∵高相交于点O，
∴,
∴
如图，过点D作交于点N,
∵高相交于点O，
∴ ，
∵,即，
∵，
∴，
∴
在和中,
∴，
∴,
∴，
∵，，
∴．
故答案为: ，．
三、圆满的解答是你萌动的智慧（共55分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合：
（1）先根据乘法分配律去括号，然后化简二次根式，最后根据二次根式加减计算法则求解即可；
（2）先根据二次根式乘法计算法去括号，然后合并同类二次根式即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. （1）（用配方法）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程；
（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18. 图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，是直角边为1的直角三角形，以的斜边为直角边，长为1的线段为另一直角边，画第二个直角三角形……依此类推．
（1）第一个直角三角形的斜边长为______．
（2）第n个直角三角形的斜边长为______．
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索：
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求出前四个直角三角形的斜边长，进而可得规律第n个直角三角形的斜边长为；
（3）分别求出前四个三角形的面积，进而得到规律，据此求解即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得，第二个直角三角形斜边长为，
第三个直角三角形斜边长为，
第四个直角三角形斜边长为
……，
以此类推，第n个直角三角形的斜边长为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
……，
以此类推，，
∴
．
19. 已知，关于x的方程有两个实数根、．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若、满足，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把原方程化简为，根据方程有两个实数根，推出判别式，解不等式即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，得出，，推出，，根据，推出，得到，得到．
【小问1详解】
，
根据题意得，
解得；
【小问2详解】
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，解方程，解不等式．
20. 在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为．
（1）如果，，可得的周长为______；
（2）如果，可得的度数为______；
操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长．
【答案】操作一：（1）；（2）；操作二：
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理：
操作一：（1）由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式求解即可；
（2）由折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理结合已知条件求解即可；
操作二：由勾股定理得，由折叠的性质可得，利用等面积法求出，进而求出，则．
【详解】解：操作一：（1）由折叠的性质可得，
∴的周长，
故答案为：；
（2）由折叠的性质可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
操作二：在中，由勾股定理得，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2090元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）每千克核桃应降价1元或9元；（2）该店应按原售价的八五折出售．
【解析】
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用“销售量每件利润=2090元”列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客，应该下降9元，求出此时的销售单价即可确定几折.
【详解】（1）设每千克核桃应降价x元
由题意得
化简得
解得
答：每千克核桃应降价1元或9元；
（2）由（1）可知每千克核桃可降价1元或9元
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价9元
此时，售价为：（元）
答：该店应按原售价的八五折出售.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键.
22. 如图，等腰直角三角形中，．点D在三角形内部，，．

（1）求证：；
（2）若，，，求的长度；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定：
（1）直接证明即可证明；
（2）如图所示，连接，则是等腰直角三角形，可得，利用勾股定理得到；证明，由（1），则，可得，进而得到，则；
（3）如图所示，延长交于F，由（1）（2）得，可证明四边形是矩形，得到，可得，则．
【小问1详解】
证明：∵在等腰直角三角形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
由（1），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，延长交于F，
由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．