【数学】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二下学期5月联考试卷（解析版）

这是一份【数学】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二下学期5月联考试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知是函数的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】．
故选：A.
2. 已知数列满足，且，则（ ）
A. 2B.
C. D. 1
【答案】A
【解析】由题可得，
猜测是周期为3的数列，下证周期为3.
因为，故,
故是周期数列且周期为3.
故.
故选：A.
3. 某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表：
若与的回归直线方程为，则（ ）
A. 2.1B. 2.2C. 2.3D. 2.4
【答案】D
【解析】由表可知，，
则样本中心点为，代入回归直线方程得：，解得．故选：D.
4. 质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，函数，可得，则，，所以，即质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的.故选：A.
5. 在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，则，得，
所以，即，
又，解得.故选：D.
6. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】由离散型随机变量性质可得，解得，
则，，
所以，．
故选：A.
7. 设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为．若，则，不符合题意，
所以，解得．
又因为和的等差中项为，所以，则，解得．
所以，，
当时，，当时，，当时，，
所以的最大值为．
故选：B.
8. 从、、、、、中任选个不同的数字组成一个四位数，若这个四位数是偶数，则个位、十位和百位上的数字之和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若个位上的数字为，则这样的四位偶数的个数为；
若个位数字不是，则个位数字为或，首位有种选择，
这样的四位偶数的个数为.
所以，四位偶数的个数为个；
下面考虑这个四位数既是偶数，又满足个位、十位和百位上的数字之和为偶数的情况：
若个位、十位和百位上的数字都是偶数，则首位从、、中选择一个数，有种选择，
再将、、排在个位、十位和百位上，这样的四位偶数个数为个；
若个位、十位和百位上的数字中有个奇数、个偶数，则十位、百位上的数字为奇数，
若首位为奇数，则三个奇数分别排首位、百位、十位，则个位排偶数，这样的四位偶数的个数为个；
若首位为偶数，则首位从、中选择一个，个位从以及剩余的一个偶数中选择，
十位、百位从个奇数中选择个排列即可，这样的四位偶数的个数为个.
综上所述，个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位偶数的个数为个.
故所求概率.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导运算中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.
故选：ABD.
10. 若，随机变量，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】AD
【解析】因为，，
所以，，故A正确；
当时，，所以，
则，故B错误．
当时，，解得或，则或，故C错误；
当时，，因为，所以，则，故D正确．
故选：AD.
11. 已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C. 数列是等比数列
D. 若恒成立，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，由题可知，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确；
对于B，，
，B正确；
对于C，，
所以
，
则，
故不是等比数列，C错误.
对于D，由题可知
易知当为奇数时，单调递增且；当为偶数时，单调递减，且；
若恒成立，则当为奇数时，，所以；
当为偶数时，，所以.
综上，的取值范围为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则______．
【答案】0.3
【解析】依题意，与互斥，，
所以
故答案为：0.3
13. 将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，，则的前项和为______．
【答案】
【解析】因为数列是以4为首项，3为公差的等差数列，数列是以1首项，2为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以7为首项，6为公差的等差数列，
所以的前项和为．
故答案为：.
14. 过点可作曲线的切线的条数最多为______.
【答案】
【解析】设切点坐标为．
因为，所以，则切线斜率为，
所以切线方程为．
又点在切线上，所以，解得，
故过点可作条切线与曲线相切．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是函数的导函数，且．
（1）求；
（2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：（1）由题可知，令，则，解得．
因为，所以．
（2）由（1）可知，，
则所求的切线方程为，即，
所以该切线与坐标轴的交点为和，
则所求三角形的面积为．
16. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
（1）完成上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关；
（2）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
解：（1）完善列联表，如下：
零假设为：：学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题相互独立，即学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关，
根据列联表数据计算可得，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，所以有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关．
（2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名数学成绩总评非优秀．
所有可能的取值为0，1，2，
知，，，
所以的分布列为：
故．
17. 已知是等差数列的前项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）已知数列满足，为的前项和，若，求整数的最小值．
解：（1）设等差数列的公差为．
由，可得，
两式相减可得，
所以，即．
当时，，解得，
所以，故的通项公式为．
（2），
所以．
由，可得，解得，故整数的最小值为99．
18. 甲､乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲､乙的概率各为.
（1）已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；
（2）求第2次答题的人是乙的概率；
（3）求第次答题的人是甲的概率.
解：（1）甲答对题目的概率为.
（2）乙答对题目的概率为.
记“第次答题的人是甲”为事件，“第次答题的人是乙”为事件，
所以
.
（3）设，依题可知，，则，
即.
设，解得，则.
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即.
19. 已知数列满足，且. 若整数能被正整数整除，则称为的一个正约数. 设的正约数个数为，将这个正约数从小到大排成一排，分别为.
（1）证明：是等比数列.
（2）证明：为定值.
（3）在和之间插入个数，使成等差数列.
①当时，求；
②在①的前提下，是否存在正整数，使得？若存在， 求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
证明：（1）因为，
整理可得，
且，可得，则，
所以等比数列.
（2）由（1）可知：，且，当时，则
，
且符合上式，所以，
可知整数只能被正整数整除，
即的正约数为，个数为，
所以为定值.
（3）①由（2）可知：，
因为成等差数列，
则
，
当时，所以；
②存在，理由如下：由①可得，
因为，
显然，可知为正整数，即，
又因为，
即当时，，方程不成立；
若，可得，解得，符合题意；
若，可得，解得，符合题意；
综上所述：符合题意的正整数对为或.年研发费用
5
4
6
3
4
2
年利润
12
10
13
9
11
5
2
4
7
数学成绩总评优秀的人数
数学成绩总评非优秀的人数
合计
每天都整理数学错题的人数
90
不是每天都整理数学错题的人数
40
100
合计
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
数学成绩总评优秀的人数
数学成绩总评非优秀的人数
合计
每天都整理数学错题的人数
90
10
100
不是每天都整理数学错题的人数
60
40
100
合计
150
50
200
0
1
2