辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年5月高一下学期 数学联考试卷（含解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第二册第六章至必修第三册．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐标表示可得解.
【详解】因为向量，，且，所以，
即，C正确，D错误，
取，可得，，此时，
但，，A，B错误，
故选：C
2. 已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. 60D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】先将圆心角转化为弧度制，然后根据扇形的弧长公式计算即可.
【详解】圆心角为20°，即圆心角为，又扇形的半径为6，
由弧长公式得，该扇形的弧长为，
故选：B
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角公式得到方程，解得即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：B
4. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解，
【详解】函数的定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故A不符合题意；
函数的定义域为关于原点对称，又，
所以且，所以是非奇非偶函数，故B不符合题意，
函数的定义域为关于原点对称，
又，所以是偶函数，故C不符合题意；
函数的定义域为关于原点对称，
又，所以是奇函数，故D符合题意．
故选：D.
5. 已知点，则向量在向量方向上投影的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量坐标运算法则求得，利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，可得，
则向量在向量方向上的投影为．
故选：C.
6. 已知α为第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同角的正余弦的平方和求得，进而求得，再利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为α为第二象限角，且，所以，
则，所以．
故选：D.
7. 已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面的线性运算法则求解即可.
【详解】由题意得
．
故选：C
8. 已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，分析可知的图象关于点对称，了正弦型函数的对称性结合的取值范围可得出的值.
【详解】设函数的最小正周期为，则，则，，
由，得的图象关于点对称，
则，得，因，所以．
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件，利用三角函数的定义求出，即可判断选项A和B的正误；再利用诱导公式，即可判断选项C和D的正误.
【详解】因为角的终边经过点，
则，
又，所以选项B错误，选项A、C和D正确，
故选：ACD.
10. 为了得到函数的图象，只要将函数图象上（ ）
A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C. 所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.
【详解】由题意得，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故A正确，B不正确．
将图象上所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标
缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，故C正确，D错误．
故选：AC.
11. 已知非零向量，的夹角为θ，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. θ的取值范围为D. 的最大值为12
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得，进而可求得可判断A；利用共线向量的定义可得或，代入计算可判断B；由，方程有解求解可判断C；由，计算可判断D.
【详解】对于A，由，得，得．
若，则，得，故A正确．
对于B，若，则或，当时，不成立，
当时，，解得或6，故B错误．
对于C，由，得，因为，所以，故C正确．
对于D，由，得，所以，
当6时，等号成立，故D正确．
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则__________，__________．
【答案】 ①. ## ②. ##0.3
【解析】
【分析】分子分母同时除以，即可求解；先将原式转化为分式，分子分母同时除以，即可求解.
【详解】；
.
故答案为：；.
13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由，且与不共线,即可求解.
【详解】由题意有，又与不共线，所以，
所以，
故答案为：.
14. 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
．
故答案：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知向量．
（1）求的坐标；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知根据向量加法和减法的坐标运算即可；
（2）求出向量的数量积和模，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
由（1）得，
，，
所以
16. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)由最小正周期求出,再由对称轴求出即可;
(2)令,解不等式即可;
(3) 由，得到，进而求出值域.
【小问1详解】
由题意得．
因为的图象关于直线对称，所以，
得．
又，所以．故．
【小问2详解】
由，
得，
所以的单调递减区间为．
【小问3详解】
由，得，
由正弦函数的图象得，
故在上的值域为．
17. 如图，在四边形中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若与相交于点，，，，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形法则即可求解；
（2）由向量的夹角公式即可求解.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
由图可知得夹角即为，
，
，
所以
18. 已知，．
（1）求、的值；
（2）求的值；
（3）若、均为锐角，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两角和与差的正弦公式可得出关于、的方程组，即可解出这两个量的值；
（2）利用二倍角的正弦、余弦公式结合（1）中的结果可得出所求代数式的值；
（3）根据正切函数的单调性得出，可求出、的取值范围，结合同角三角函数的基本关系结合两角和的余弦公式可求出的值.
【小问1详解】
由题意得，得．
【小问2详解】
．
【小问3详解】
由，得．
由，得，得，
所以，，
由，得，
，
所以
．
19. 定义：区间的长度为，区间的长度为．
（1）已知不等式在上的解集为，求的长度．
（2）已知，函数．
①求在上的零点之和；
②若不等式在上的解集为，求的长度的最大值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）解不等式可得，结合区间长度的定义即可求解；
（2）①由已知解方程可得在上有4个零点，设的两根为，的两根为，结合三角函数的图象与性质即可求解；②由①结合已知条件可知的长度为，由同角三角函数的基本关系结合基本不等式可知，由两角差的余弦公式可得，由此可得的范围，即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
得，得，
因为，所以，即，
故的长度为；
【小问2详解】
①由，得，，
由，得或，
所以方程在上均有两个实数根，
即在上有4个零点，
设的两根为，的两根为，
得，
且，
则，
所以在上的零点之和为；
②由，得或，由①可得，
则的长度为，
易得，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
由，得，所以，
所以，故长度的最大值为.