2025-2026学年天津市北辰区华辰学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市北辰区华辰学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设x,y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2)，且a⊥b,b//c，则|a+b|等于( )
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
2.已知直线l1:ax+y-2=0,l2:2x+(a+1)y+2=0，若l1/\!/l2，则a=( )
A. -1或2B. 1C. 1或-2D. -2
3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2mx+m2-1=0相外切，则实数m=( )
A. -3B. 3C. ±3D. 1
4.已知圆的方程为x2+y2-2x=0，M(x,y)为圆上任意一点，则y-2x-1的取值范围是( )
A. - 3, 3B. [-1,1]
C. -∞,- 3∪ 3,+∞D. (-∞,-1]∪[1,+∞)
5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠BAC=90°，∠A1AB=∠A1AC=60°，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为( )
A. 292B. 29C. 232D. 23
6.求过两圆x2+y2+2x-4y-4=0和x2+y2-4x+2y+2=0的交点，且圆心在直线x+2y+2=0上的圆的方程( )
A. x2+y2-8x+6y+6=0B. x2+y2-4x+4y+6=0
C. x2+y2-8x+6y-6=0D. x2+y2-4x+4y-6=0
7.已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为( )．
A. (x-1)2+y2=18B. x2+(y-1)2=18
C. x2+(y+1)2=18D. (x+1)2+y2=18
8.当曲线y=1+ 4-x2与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是( )
A. (0,512)B. (13,34]C. (512,34]D. (512,+∞)
9.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上恰有2个不同的点到直线l:y=x+b(b>0)的距离为2 2，则正数b的取值范围为( )
A. (0,2)B. (0,2]C. (2,10)D. [2,10]
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.经过点A(3,2)，且与直线4x+y-2=0垂直的直线的方程为___ _.
11.直线l过点(1,1)且被圆C:x2+(y-2)2=5截得的弦长最短，则直线l的方程为 ．
12.下列说法正确的是 ．
①直线y=ax-2a+4(a∈R)恒过定点(2,4)
②直线y+1=3x在y轴上的截距为1
③直线x+ 3y+1=0的倾斜角为150°
④已知直线l过点P(2,4)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y-6=0
13.圆x2+y2-4x+4y-12=0与圆x2+y2=4的公共弦长为 ．
14.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，直线2x-y-12=0上点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB(其中A，B为切点)，则四边形PACB面积的最小值为 ．
15.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0,3)，若圆C:(x-3)2+(y-3)2=r2上存在动点M满足|MA|=2|MO|，则r的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2,c= 2，csA=- 24．
(1)求b的值；
(2)求sinC的值；
(3)求cs(2A+π3)的值．
17.(本小题15分)
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，M是BB1的中点，N是BC的中点，过点N作与平面ACC1A1平行的直线PN，交A1B1于点P．
(1)证明：C1M⊥平面AMN；
(2)求C1M与平面PMN所成角的正弦值；
(3)求点P到平面AMN的距离．
18.(本小题15分)
已知圆C经过坐标原点，且圆心为(2,0)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知直线l:3x+4y-1=0与圆C相交于A，B两点，求弦长|AB|的值；
(3)过点P(4,-4)引圆C的切线，求切线的方程．
19.(本小题15分)
设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，▵AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
20.(本小题15分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，∠DAB=π3，四边形ADNM是矩形，ND⊥平面ABCD，AD=2，AM=1，点E为AB的中点．
(1)求证AN//平面MEC；
(2)求平面MEC与平面MBC夹角的余弦值；
(3)在直线AM上存在动点P，使得直线PE与平面MBC所成角的余弦值为 134,求线段PE的长．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.A
6.A
7.C
8.C
9.C
10.x-4y+5=0
11.x-y=0
12.①③
13.2 2
14. 19
15.[3,7]
16.解：(1)在▵ABC中，a=2,c= 2，csA=- 24，
由余弦定理得4=a2=b2+c2-2bccsA=b2+2+b，整理得b2+b-2=0，
所以b=1．
(2)在▵ABC中，由csA=- 24，得sinA= 1-cs2A= 144，
由正弦定理asinA=csinC，得sinC= 2× 1442= 74．
(3)由(2)得sin2A=2sinAcsA=- 74，cs2A=2cs2A-1=-34，
所以cs(2A+π3)=cs2Acsπ3-sin2Asinπ3=-34×12+ 74× 32= 21-38．

17.解：(1)在直三棱柱中∠BAC=90°，则AB,AA1,AC两两垂直，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0),N(1,0,1),C1(0,4,2),M(2,2,0)，
所以AM=(2,2,0),AN=(1,0,1),C1M=(2,-2,-2)，
由C1M⋅AM=4-4+0=0，则C1M⊥AM，
由C1M⋅AN=2+0-2=0，则C1M⊥AN，
由AM∩AN=A且都在平面AMN内，则C1M⊥平面AMN；
(2)设P(a,4,0)，NP=(a-1,4,-1)，平面ACC1A1的一个法向量为m=(1,0,0)，
由PN//平面ACC1A1，则m⋅NP=a-1=0，可得a=1，故P(1,4,0)，
设平面PMN的一个法向量n=(x,y,z)，NP=(0,4,-1)，NM=(1,2,-1)，
所以n⋅NP=4y-z=0n⋅NM=x+2y-z=0，取y=1，则n=(2,1,4)，
所以|csC1M,n|=|C1M⋅n|C1M||n||=|4-2-82 3× 21|= 77，
故C1M与平面PMN所成角的正弦值为 77；
(3)由(1)知平面AMN的一个法向量为C1M=(2,-2,-2)，由(2)知AP=(1,4,0)，
所以点P到平面AMN的距离|AP⋅C1M|C1M||=|2-8-02 3|= 3．

18.解：(1)由题意可得，圆心为(2,0)，半径为2，则圆C的方程为(x-2)2+y2=4；
(2)由(1)可知：圆C的半径r=2，
设圆心C(2,0)到l:3x+4y-1=0的距离为d，则d=|6-1|5=1，
所以|AB|=2 r2-d2=2 3．
(3)当斜率不存在时，x=4为过点P的圆C的切线．
当斜率存在时，设切线方程为y+4=k(x-4)，即kx-y-4-4k=0，
d=|4+2k| 1+k2=2，解得k=-34，所以3x+4y+4=0．
综上所述：切线的方程为x=4和3x+4y+4=0．

19.解：(1)当直线过原点时满足条件，此时2-a=0，解得a=2，化为3x+y=0．
当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．
综上所述，直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．
(2)y=-a+1x+a-2，
∵l不经过第二象限，∴-a+1≥0a-2≤0，解得a≤-1．
∴实数a的取值范围是(-∞,-1]．
(3)令x=0，解得y=a-22或a< -1．
综上有a< -1．
∴S▵AOB=12a-2a-2a+1=12a+1+9a+1-6=3+12-a-1+9-a-1
≥3+12×2 -a-1×9-a-1=6，
当且仅当a=-4时取等号．
∴▵AOB(O为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程-3x+y+6=0，即3x-y-6=0

20.解：(1)设CM与BN交于点F，连接EF
∵四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，
∴所以AD//BC且AD=BC，AD//MN且AD=MN，
则BC//MN且BC=MN，
∴四边形BCNM是平行四边形，则F是BN的中点．
∵E是AB的中点，
∴AN//EF，EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，
∴AN//平面MEC．
(2)连接DE，由四边形ABCD是菱形，∠DAB=π3，
∴△ABD为正三角形，
又∵E是AB的中点，得DE⊥AB，即DE⊥DC，
∵DN⊥平面ABCD，DE、DC⊂平面ABCD，
∴DN⊥DE，DN⊥DC，
以D为原点，DE,DC,DN所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示
则D(0,0,0)，E 3,0,0，C(0,2,0)，M 3,-1,1，B 3,1,0，
得MB=(0,2,-1)，MC=- 3,3,-1，ME=(0,1,-1)，
设平面EMC的一个法向量为n1=x1,y1,z1
则n1⋅MC=- 3x1+3y1-z1=0n1⋅ME=y1-z1=0
令y1= 3，得x1=2，z1= 3，∴n1=2, 3, 3
平面MBC的一个法向量为n2=x2,y2,z2，
n2⋅MC=- 3x2+3y2-z2=0n2⋅MB=2y2-z2=0
令y2= 3，得x2=1，z2=2 3，∴n2=1, 3,2 3，
得csn1,n2=n1⋅n2n1n2=11 10⋅4=11 1040，
∴平面EMC与平面MBC所成角的余弦值为11 1040；
(3)设P 3,-1,h，且PE=(0,1,-h)，
由(2)知平面MBC的法向量为n2=1, 3,2 3，
设直线PE与平面MBC的所成角为θ，则csθ= 134，
∴sinθ= 34
所以sinθ=csPE,n2=PE⋅n2PEn2= 3-2 3h4 1+h2= 34，
解得h=0或h=43，
∴PE= 02+12+02=1或PE= 02+12+432=53．