河北省部分校2025届高三高考猜题信息卷（二）数学试卷（解析版）

这是一份河北省部分校2025届高三高考猜题信息卷（二）数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合M=x∈Qx2-2x-31D．a20时，f'(x)>f'(0)=0，当x0,b>0与双曲线y26-x22=1的渐近线相同，且经过点2,3，C的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与直线x=12交于M，N两点．
（1）求C的方程；
（2）若MN=33，求满足条件的直线l有几条？
解：（1）因为双曲线y26-x22=1的渐近线方程为y=±3x，
所以ba=3，即b=3a，
点2,3代入x2a2-y23a2=1，即4a2-93a2=1，解得a2=1，
所以b2=3a2=3，
故双曲线的方程为x2-y23=1.
（2）由题意F2,0，
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)，
联立x2-y23=1y=k(x-2)，可得3-k2x2+4k2x-4k2+3=03-k2≠0
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3，
所以AB中点即圆心坐标为2k2k2-3,k2k2k2-3-2，即2k2k2-3,6kk2-3，
则AB=1+k2⋅x1+x22-4x1x2=61+k2|3-k2|，圆的半径为r=31+k2|3-k2|，
以AB为直径的圆的方程为x-2k2k2-32+y-6kk2-32=91+k22|3-k2|2，
将x=12代入圆的方程可得y-6kk2-32=271+k224k2-32，
解得y=12k±331+k22k2-3，所以MN=yM-yN=331+k2k2-3，
又MN=33，所以331+k2k2-3=33，解得k2=1，即k=±1，
即满足条件的直线有2条，分别为y=x-2,y=-x+2；
当直线l斜率不存在时，由x=2代入双曲线方程可得A2,3,B2,-3,
所以圆的方程为x-22+y2=9，将x=12代入圆的方程可得y=±332，
所以MN=33，符合题意.
综上，存在3条满足条件的直线，分别为y=x-2,y=-x+2,x=2.
18．已知函数fx=x-eaxa>0．
（1）若fx在0,+∞上单调递减，求a的取值范围；
（2）求fx在1a,2a上的最大值；
（3）若存在x1,x2x1