河北省2025届高三下学期省级联测考试（预测卷Ⅱ）数学试题（解析版）

这是一份河北省2025届高三下学期省级联测考试（预测卷Ⅱ）数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知集合，若，则， “”是“”的， 已知，则， 已知复数，则， 已知函数，当时，恒成立，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】因为，则，
且，则，解得，
此时，满足，
所以符合题意.
故选：A.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，又由，可得，
又由不一定可得，
反例：当时，成立，但，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量在向量上的投影向量.
故选：B.
4. 已知是等差数列，与是方程的两根，则的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
又由根与系数的关系得
∴，
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知得，即，即，即.
故选：A.
6. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】设的值域分别为，
当时，则，可得；
因为的值域为，可知，
则，且，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
7. 如图所示，圆锥的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆锥体积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆锥的高为，底面半径为，则圆锥内接的圆柱上面的小圆锥的高为，
如图易知,
即，
所以该圆锥的体积，则，
令，则，当时，，当时，，
即在单调递减，在单调递增，
时，取得最小值为，
故选：B.
8. 过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】设，弦的中点为，离心率为，则，同理.
由，两式相减整理得，
所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以，
所以，，
由，得，所以.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部是B.
C. D.
【答案】AB
【解析】，其虚部是A正确；
B正确；
C不正确；
D不正确，
故选：AB.
10. 已知函数，当时，恒成立，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 有极大值
C. 的极小值点为
D. 只有一个零点
【答案】ABD
【解析】，恒成立，
与有相同的根，即的两个实数根为，
，，即.，
由得或，，，A正确；
当时，，函数单调递增，当时，，
函数单调递减，当时，，函数单调递增，
在处取得极大值，在处取得极小值
，又当时，，B正确，C不正确，D正确，
故选：ABD.
11. 甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（ ）
A. 甲获胜的概率为
B. 两人比赛4局结束的概率为
C. 在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是
D. 在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为
【答案】ABD
【解析】甲获胜的概率为A正确；
两人比赛4局结束的概率为B正确；
对于C，比赛进入第三局，前两局是平，则在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率为C不正确；
由A知，乙获胜的概率为，在此条件下，乙赢得第二局胜利的概率为D正确，
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当直线过圆心时，两条切线平行，所以夹角为0，
当直线不过圆心时，如图，设两条切线交于点，则，
设点到直线的距离为，因为直线过点，所以
当时，直线斜率不存在，不符合题意，
所以，则，，综上，两条切线夹角的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知定义在上的函数满足，且，试写出一个满足上述条件的的解析式：__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为中间符号为“”，前后两个代数式中间符号为“”，
所以类比两角差余弦公式，
但，所以猜测的一个解析式为.
检验，，
所以，满足题意，
又，满足题意，
故的一个解析式为.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆分别与轴切于点，且，则__________.
【答案】3
【解析】设，不妨令，抛物线的焦点，
，由直线的倾斜角为，得，
解得，又，则，于是，
由是以为直径的圆与轴相切的切点，得点的纵坐标为，同理点的纵坐标为，
由，得，即，所以.
故答案为：3

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，三个内角的对边分别为.
（1）若，求；
（2）若边上高，求的周长.
解：（1）由余弦定理
得，
联立，解得（舍）或，
由正弦定理得，得
解得.
（2）由题得的面积，
.
由余弦定理得，
，
，
的周长为.
16. 如图，在体积为14的四棱台中，底面是菱形，，分别是四边形和四边形对角线的交点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：由已知得.
设，上底面的面积，下底面的面积
，解得，
，
，即.
平面平面，
又平面平面，
平面，且平面.
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则由（1）知，
.
设平面的法向量为，
则
令，则，
设平面的法向量为，
则
令，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
17. 如图，点是直线上的动点，以为圆心的圆过点，直线是圆在点处的切线，过作圆的两条切线分别与交于点.
（1）求的值；
（2）设点的轨迹为曲线，，直线交曲线于两点，且直线与直线交于两点，证明：点在以为直径的圆上.
解：（1）设，直线与圆切于点，所以，
则
.
（2）由（1）知点的轨迹为椭圆，
设该椭圆方程为，则，，
所以曲线的方程为.
当直线轴时，不妨令，，
则，直线的方程为，，，
同理，所以，
所以点在以为直径的圆上；
当直线不垂直于轴时，设，，直线的方程为，
代入中，整理得，
所以，，
直线方程为，即，
所以，同理，
又，
所以，
所以，所以点在以为直径的圆上.
综上所述，点在以为直径的圆上.
18. 已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）对任意，证明：.
（1）解：当时，，
恒成立，
在上单调递增，又，
的解集为.
（2）解：，
由得，
若，解得，此时恒成立，
在上单调递增，；
若，解得或，
当时，在上单调递增，
当时，由解得，
在上单调递减，
不恒成立.
当时，恒成立，实数的取值范围是.
（3）证明：取，由（1）知，
当时，，
，即.
故只需证明，
设，
，
在上单调递增，
成立，
即成立.
19. 形如的方程叫不定方程，其中是方程中未知数的系数，是常数，则称元有序数组为不定方程的解.给出不定方程，对于方程的一组正整数解，当时，若，则称正整数解为方程的极值的一组解.
（1）方程中有多少组极值的解；
（2）求的最小值；
（3）在的前提下，求时方程的极值的概率.
解：（1），
是极值时，中有三个337和三个338，
即有组极值解.
（2），
的方差.为常数，当方差最小时最小.
当时，不是整数舍去，
当时，即是方程的1—极值的一组解时，方差最小，即最小，
此时.
（3）考虑是方程的1-极值的一组解时的一种情况，由（1）知有20组，
若化为2-极值，只需将个位中的一个7减去1，加到另一个7上，或是将个位中的一个8减去一个8上，即个位化为或是，
则方程的2.-极值的个数为.
3-极值是1-极值中的个个位7减去1，加到个8上；
或是一个7减去2，另两个7各加1；
或是两个8各减1加到另一个8上，
其个位形式为或是或是
或是或是.
其个数为，
在的前提下，时方程的极值的概率.