河南省郑州市2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份河南省郑州市2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．据公安部消息，截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．数据“2041万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．洛阳开工建设的地铁3号线，预计2025年基本建成．如图是施工现场的一个螺栓（其底部为正六棱柱），则它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直线，一副三角板按照如图所示摆放，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．小明统计了2024年年假期间（大年初二到初八）郑州市每天的最高气温（单位：℃）：18，19，20，19，12，14，17，则这组数据的平均数（单位：℃）与众数（单位：℃）分别是（ ）
A．19，17B．17，19C．17，18D．18，19
7．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
8．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，点A，B，C分别在上，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图1，动点P从矩形的顶点A出发，沿的方向以的速度匀速运动到点C．设点P运动所用时间为的面积为，图2是点P运动时随变化的关系图象，则点D到的距离为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．若一次函数的图象与y轴交于负半轴，则b的值可以是 ．（写出一个即可）
12．不等式组的整数解的个数为 个．
13．琪琪和妈妈玩摸纸牌游戏，先从一副扑克牌中抽出1张黑桃、3张红桃，然后把它们背面朝上洗匀放在桌子上，随机从中摸取两张，规定两次摸到的扑克牌花色不一样琪琪赢，否则妈妈赢，则琪琪赢的概率是 ．
14．如图，在中，，在上取一点E，以点E为圆心，的长为半径作弧，与边恰好相切于点B，则图中阴影部分面积为 ．
15．如图，菱形中，，G是对角线的中点，是等腰直角三角形，，将绕点B顺时针旋转，连接．已知，，在旋转过程中，当为直角三角形时，的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下．
a．甲校学生成绩的扇形统计图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．
b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78．
c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表：
(1)填空： _______， _______；
(2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，则p_______q（填“”或“”）；
(3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议．
18．如图，在中，平分．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作交于点F，求证：．
19．位于卫辉市东南隅的镇国塔，是河南省重点保护文物．镇国塔为七层六角楼阁式砖塔，塔每层的六个角上都悬挂着一个风铃，风吹起的时候叮当作响，悦耳动听．某数学小组在老师的指导下，测算镇国塔的高度．如图，已知，在点D处测得镇国塔的顶端E的仰角为，自A向镇国塔走到达点B，测得镇国塔的顶端E的仰角为（点A，B，C在一条直线上）．则数学小组测算的镇国塔的高度是多少？（结果精确到．参考数据：）
20．如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F．
(1)求m和k的值．
(2)求点D的坐标．
(3)连接，求的面积．
21．为了让学生德智体美劳全面发展，提高学生们的动手能力，致远中学成立了烹饪社团．为满足社团活动的需求，计划购买炒锅20口，通过市场调查了解到：若购进A种炒锅10口，B种炒锅5口，需要1325元；若购进A种炒锅4口，B种炒锅3口，需要595元．
(1)求购进A，B两种炒锅每口分别需要多少元？
(2)商家了解到学校社团实际需求，特推出以下优惠措施：
根据需求，要求购买B种炒锅的数量不多于A种炒锅数量的，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出其所需费用．
22．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式．
(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离．
(3)为实现动态喷水效果，公园管理处决定对该喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱所在抛物线形状不变的前提下，把喷水距离（动态喷水时，点B到的距离）控制在到之间（包含和），求改进后b的取值范围．
23．综合与实践
如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边上的动点．
(1)操作发现
按下列步骤操作：
第一步：将沿折叠，点B落在点G处，与相交于点O；
第二步：取上一点E，连接，将沿折叠，使点A与点G重合．
根据以上操作，与之间的数量关系为__________；线段与之间的数量关系为__________．
(2)深入探究
如图2，在（1）的基础上，过点D作交于点F，连接．试判断的形状，并说明理由．
(3)问题解决
在（2）的条件下，当时，请直接写出折痕的长．
学校
平均数
中位数
甲
n
乙
购买数量少于10口
购买数量不少于10口
A炒锅
不打折
打8折
B炒锅
不打折
打7.5折
参考答案
1．A
解：根据概念，的相反数是，即．
故选：A
2．C
解：2041万．
故选：C．
3．B
解：从左边看，底层是两个相邻的矩形，上层的中间是一个矩形．
故选：B
4．D
解：A、，本选项错误，不符合题意；
B、与，不是同类项，不能合并，本选项错误，不符合题意；
C、，本选项错误，不符合题意；
D、，本选项正确，符合题意．
故选：D．
5．A
解：如图：
∵,,
∴,
∴．
故选A．
6．B
解：这组数据的平均数为：；
因为这组数据19出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是19．
故选B．
7．D
解：A．，
方程有2个不相等的实数根，故不符合题意；
B．，方程有2个相等的实数根，故不符合题意；
C．，方程有2个不相等的实数根，故不符合题意；
D．，方程没有实数根，故符合题意；
故选：D．
8．C
解：由题意，抛物线开口向上，
，故①正确．
又对称轴是直线，
．
，故②正确．
又由题意，抛物线与轴有两个不同的交点，
△，故③正确．
又当时，，
．
，故④错误．
综上，正确的有3个．
故选：C
9．C
解：过作于，过作于，
，
，，
，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
．
故选：C
10．D
解：由图2可知，当时，，即当P运动到点C处时，，
当点P到达点B时，的面积最大为，
∴，即，
解方程组
得，，
∵，
∴，
由等面积得，点B到的距离为
∴点D到的距离为．
故选：D．
11．1（答案不唯一）．
解：一次函数的图象与轴交于负半轴，
，即，
不妨．
故答案为：1（答案不唯一）．
12．5
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，，，0，1共5个，
故答案为：5
13．
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的扑克牌花色不一样的结果有6种，
琪琪赢的概率是．
故答案为：．
14．
解：连接，
四边形是平行四边形，
，
以点为圆心，的长为半径作弧，与边恰好相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分面积平行四边形的面积扇形的面积的面积，
故答案为：．
15．
解：∵菱形，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵G是对角线的中点，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接，
当为直角三角形时，分，，三种情况求解；
当时，由题意知，三点共线，
∴，
∴；
当时，，，
此时到的距离为，
∵，
∴此情况不成立；
当时，由题意知，此情况不成立，
综上所述，的长为，
故答案为：．
16．（1）；（2）
解：（1）
；
（2）
．
17．(1)；74
(2)
(3)乙学校学生的“思维创新能力”更强；理由见解析（写出一条，合理即可）
（1）解：甲班组人数所占的百分比为，
，
，
甲校学生成绩排在第20，21位的是73，75，
所以甲校学生成绩的中位数；
（2）解：，理由如下：
抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为，
．
乙校的学生中，成绩的平均分为，中位数为，且，
．
；
（3）解：乙校学生的“思维创新能力”更强，
理由如下：在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大．
建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望（写出一条，合理即可）．
18．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，即为所求（方法不唯一）．

（2）证明：，
．
，
，，，
，
．
．
平分，
．
．
．
．
19．数学小组测算的镇国塔的高度约为．
解：过点作，垂足为，

由题意得：，，
设 ，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
数学小组测算的镇国塔的高度约为．
20．(1)
(2)
(3)6
（1）解：∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴，解得：．
（2）解：如图：过点A作轴于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∴.，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵直线与反比例函数的图像交于点和点B，
∴点B的坐标为，
∵，
∴.
21．(1)100，65；
(2)购买种炒锅15口、购买种炒锅5口，1525元．
（1）解：设种炒锅每口元，种炒锅每口元．
根据题意，得，
解得，
种炒锅每口100元，种炒锅每口65元．
（2）解：设购买种炒锅口，则购买种炒锅口．
根据题意，得，
解得，
．
设所需费用元，则，
，
随的减小而减小，
，
当时，取最小值，，此时购买种炒锅（口），
购买种炒锅15口、购买种炒锅5口最省钱，所需费用1525元．
22．(1)
(2)
(3)
（1）解：由题意，抛物线的顶点．
故可设抛物线的函数表达式为．
又抛物线过点，
，解得．
水柱所在抛物线的函数表达式为．
即．
（2）由（1），知．
令，则，解得 或 （舍去）．
答：水柱落地点与雕塑的水平距离为．
（3）由题意，喷出水柱所在抛物线的形状不变，
．
又雕塑高度不变，
．
抛物线的表达式为．
当时，即，
，解得．
当时，即，
，解得．
改进后的取值范围为．
23．(1)；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)或
（1）是等腰直角三角形，
由折叠性质可得，
，
，
故答案为：；；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
由折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）
由折叠的性质可得
，
由（2）得，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
设则
在中，由勾股定理得
解得或4，
或4，
当时，如解图②，过点作于点，
则
当时，如解图③，过点作于点，
则
综上所述，折痕的长为或
黑桃
红桃
红桃
红桃
黑桃
（黑桃，红桃）
（黑桃，红桃）
（黑桃，红桃）
红桃
（红桃，黑桃）
（红桃，红桃）
（红桃，红桃）
红桃
（红桃，黑桃）
（红桃，红桃）
（红桃，红桃）
红桃
（红桃，黑桃）
（红桃，红桃）
（红桃，红桃）