河南省郑州市新郑市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 方程的解为（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
对等式是左边利用提取公因式法分解因式，然后解方程．
【详解】解：由原方程，得
则或，
解得，．
故选：C．
2. 如图放置的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．
【详解】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．
故选C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图．
3. 如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据正切点定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.，故该选项不符合题意，
B.，故该选项符合题意，
C.，故该选项不符合题意，
D.，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正切是锐角的对边与邻边的比值；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
4. 如图，在菱形中，对角线和相交于点，若，则菱形的周长为（ ）

A. 24B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
由菱形的性质得，再由勾股定理求出的长，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为菱形，，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长，
故选：D．
5. 已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. 且B.
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：C．
6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意首先求出反比例函数解析式,进而利用电器的限制不能超过12A,求出电器的可变电阻应控制的范围.
【详解】设反比例函数关系式为：I＝，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤6时，则≤6，
R≥1，
故选C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键.
7. 如图，是的直径，点在圆周上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，涉及直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、同弧所对的圆周角相等等知识，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，熟记圆周角定理是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
是的直径，
，
在中，，则，
，
，
故选：C．
8. 2023年被确定为“消费提振年”，将分别写有“消”“费”“提”“振”“年”这五个汉字的卡片放进不透明的盒子里，这些卡片除了汉字不同外，其他完全相同，现从盒子里摸出一张卡片不放回，再摸出另外一张，则两张卡片上的字恰好能组成“提振”一词的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及两张卡片上的字恰好能组成“提振”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有20种等可能的结果，其中两张卡片上的字恰好能组成“提振”一词的结果有2种，
∴两张卡片上的字恰好能组成“提振”一词的概率为．
故选：B．
9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．
由抛物线的对称轴在轴左侧，得到与同号，根据抛物线开口向下得到小于0，故小于0，再利用抛物线与轴交点在轴正半轴，得到大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数经过的象限．
【详解】解：由二次函数的图象可知：，
故一次函数的图象过第一、二、四象限．
故选：B．
10. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴凉亭的高度约为，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若是方程的一个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把代入得：，
解得．
故答案为：．
12. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是_______．
【答案】答案不唯一，y=x2-2．
【解析】
【分析】二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为（0，-2）得出c=-2，写出一个符合的二次函数即可．
【详解】答案不唯一，如：y=x2-2，
故答案为：y=x2-2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键．
13. 如图，是的直径，切于点于点，交于点．若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，切线的性质，矩形的判定和性质，添加辅助线构造矩形是关键；
连接，过O点作于点H，证明四边形是矩形，即可求解．
【详解】解：连接，过O点作于点H，则，
∵，
∴，
∵切于点，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：1．
14. 如图，已知正方形的中心与坐标原点重合，且正方形的一组对边与轴平行，是反比例函数的图象与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积和为4，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点，正方形的性质，熟练掌握反比例函数的图象及正方形的性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
设与轴交于与轴交于与轴交于，根据正方形的性质得四边形为正方形，，再根据点得，且，然后根据反比例函数的对称性可知：，由此得，由此解出的值，进而得点的坐标为，再将点的坐标代入反比例函数之中求出的值即可．
【详解】解：设与轴交于与轴交于与轴交于，如图所示：
∵四边形为正方形，其中心与坐标原点重合，
∴四边形为正方形，，
∵点的坐标为，
∴，且，
∴，
根据反比例函数的对称性可知：，
解得：，舍去负值；
∴点的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：2．
15. 如图，在中，，点为斜边的中点，点为边上的一动点，沿着所在直线折叠，得到，当垂直于的直角边时，的长度为______．
【答案】或5
【解析】
【分析】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、相似三角形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，当时，证明四边形是边形是解题的关键．
由，求得，则，再分两种情况讨论，一是于点，则，所以，则，由折叠求得，则，由勾股定理得，求得；二是，则，可证明四边形是菱形，则于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∵点为的中点，
如图1，，垂足为点，则，
由折叠得，
解得；
如图2，，
由折叠得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
综上所述，长为或5，
故答案为：或5．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）
．
（2），
移项得，，
，
，
．
17. 已知四边形的对角线为，有下列四个条件：①；②；③；④．
（1）从中任选一个作为条件，能判定四边形是平行四边形的概率是______；
（2）从中任选两个作为条件，请用画树状图或列表的方法计算能判定四边形是矩形的概率（每个条件在列表或画图时用前边对应的序号表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形和矩形的判定和概率公式，
首先判定可以正常平行四边形的个数，再结合概率公式求解；
画树状图得出所有等可能的情况数，找出能判定四边形是矩形数，即可求出所求的概率．
【小问1详解】
解：根据平行四边形的判定只有①和②可以判定四边形为平行四边形，
则满足题意的概率为；
【小问2详解】
由树状图得知，从中任选两个作为已知条件共有12结果，能判定四边形是矩形的有4种，
则能判定四边形是矩形的概率．
18. 如图，在边长为3的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
（1）若，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．
（1）通过证明，由相似三角形的性质可求解；
（2）通过证明，可得，可得结论．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
【小问2详解】
证明：，
，
又，
，
，
．
19. 为测量一座古塔的高度，三个数学探究小组分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：
（1）哪个小组的数据无法计算出古塔的高度？
（2）请从能计算出古塔高度的方案中任选一个，计算一下古塔的高度．（结果保留整数，参考数据：）
【答案】（1）第三小组的数据无法计算出古塔的高度
（2）这个古塔高约24米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据题目的已知条件并结合图形进行分析，即可解答；
（2）①若选择第一组，设为米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答；②若选择第二组，设为米，则米，然后在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：第三小组的数据无法计算出古塔的高度；
【小问2详解】
①若选择第一组，过程如下：
设为米，
米，
米，
在中，
米，
在中，
米，
解得：，
米，
∴这个古塔高约为24米；
②若选择第二组，过程如下：
设为米，
米，
米，
在中，
米，
在中，
米，
解得：，
米，
∴这个古塔高约为24米．
20. 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标是，点B的纵坐标是．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集：________________；
（3）C为x轴正半轴上一点，连接AC，BC．若的面积是16，求点C的坐标．
【答案】（1），
（2）或者
（3）
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数，即可求出反比例函数解析式，再根据B的纵坐标求出B的坐标，最后利用待定系数法即可求解一次函数解析式；
（2）不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，结合图象即可作答；
（3）先求出一次函数与x轴的交点D的坐标，即有，根据，可得，即：，解方程即可求解．
【小问1详解】
将点A的坐标代入反比例函数，
可得：，解得：，
∴，反比例函数的解析式为：，
∵点B的纵坐标是，
∴，解得：，
∴点B的坐标是，
将点B的坐标是，点A的坐标代入一次函数，
可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
【小问2详解】
∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，
∴不等式的解集为：或者；
【小问3详解】
设一次函数与x轴相交于点D，如图，

当时，，
解得：，
即点D的坐标为：，
根据题意设点C的坐标为：，且，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得：，
故C点坐标为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，待定系数法以及结合图象求解不等式解集的知识，注重数形结合，是解答本题的关键．
21. 2023年7月28日至8月8日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在7月初以20元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售．
（1）据统计，7月份该直播间共销售蓉宝玩偶3750件，8月8日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，9月份共计销售2400件，8月和9月这两个月销售量的月平均下降率是多少？
（2）十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价30元，每天可销售80件，若单价每下降0.5元，每天可多售出10件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？
【答案】（1）月均下降率为
（2）当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意列出利润关于售价的函数关系是关键．
（1）依据题意，设月均下降率为，可列方程，进而计算可以得解；
（2）依据题意，设每件玩偶定价为元时，所获利润为元，进而可得再由二次函数的性质进行判断可以得解．
【小问1详解】
解：设月均下降率为，
根据题意可得，
解得（不合题意，舍去），
所以，月均下降率为．
【小问2详解】
设每件玩偶定价为元时，所获利润为元，
则．
当，最大，
所以，当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大．
22. 跳绳是校园中常见一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式为．
（1）求出绳子所对应的抛物线的解析式．
（2）身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由．
（3）身高为的小颖，站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）绳子不能过他的头顶
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法以及二次函数最值求法是解答本题的关键．
（1）由题意可知抛物线经过点，建立方程组即可解答；
（2）求出抛物线的最大值即可解决：
（3）令，求出，再求出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：根据题意，抛物线经过点，
解得，
∴绳子所对应的抛物线的解析式为；
【小问2详解】
身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．
理由如下：
故当时，，
∴绳子不能过他的头顶．
【小问3详解】
当时，
解得或，
23. 在四边形中，交于点，点是上一动点．
图1图2图3
（1）如图1，若四边形为菱形，且，在的右侧作等边三角形，直接写出与的数量关系：______．
（2）如图2，若四边形为正方形，在的右侧作等腰直角三角形，且，连接与之间有怎样的数量关系？请通过计算或证明进行说明．
（3）如图3，点是边长为的正方形对角线延长线上一点，在的右侧作等腰直角三角形，且，连接，若，则的面积为______．
【答案】（1）
（2）（或）
（3）
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、作辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．
（1）由“”可证，可得；
（2）通过证明，可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是菱形，
是等边三角形，
是等边三角形，
故答案为：；
【小问2详解】
，理由如下：
∵点是正方形对角线交点，
∵是等腰直角三角形，，
【小问3详解】
过点作交直线于点，
四边形是正方形，
在中，
在中，由勾股定理得，，
设
解得(舍去)，
故答案为：．
消
费
提
振
年
消
（费，消）
（提，消）
（振，消）
（年，消）
费
（消，费）
（提，费）
（振，费）
（年，费）
提
（消，提）
（费，提）
（振，提）
（年，提）
振
（消，振）
（费，振）
（提，振）
（年，振）
年
（消，年）
（费，年）
（提，年）
（振，年）
课题
测量古塔的高度
测量工具
测角仪、皮尺等工具
测量小组
第一组
第一组
第三组
测量方案
示意图
说明
古塔与地面垂直，第三组方案中与地面垂直，点在一条直线上
测量数据
米
米
米