安徽省淮南市寿县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省淮南市寿县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共24页。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，试题卷共4页，答题卷共4页；
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 某校为了了解九年级学生体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ ）
A. 0.1B. 0.17C. 0.33D. 0.4
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5. 下列以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
6. 方程x（x﹣2）＝3x解为（ ）
A. x＝5B. x1＝0，x2＝5C. x1＝2，x2＝0D. x1＝0，x2＝﹣5
7. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（ ）
A. 12B. 14 C. 16D. 18
9. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A. 14cmB. 15cmC. 24cmD. 25cm
10. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（ ）

A. 1B. C. D. ﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 计算：_________．
12. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
13. 若，是一元二次方程的两个根，则______．
14. 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________.
三、解答题：本题共9小题，共90分．
15. 计算：
（1）；
（2）．
16. 若，求代数式的值．
17. 已知方程组和方程组有相同解，求a、b的值
18. 已知，是方程的两个根．
（1）若，求的值：
（2）若，求的值．
19. 如图，在中，，垂足为，，．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
20. 如图，已知平行四边形ABCD，点O为BD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长．
21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
22. 2022年10月31日15时37分，中国空间站梦天实验舱在长征五号B运载火箭的托举下顺利升空．某校为了解学生对航天知识的掌握情况，开展了“航天知识我来答”竞赛活动．现从七年级和八年级参与竞赛的同学中各随机选出20名学生的成绩（单位：分，满分100分）进行分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：，B组：，C组：，D组：，x表示成绩，成绩为整数），其中七年级成绩处于C组的有12人．
七年级C组成绩分别：89，88，87，86，85，85，85，85，85，84，82，82；
七年级、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如下表所示：
（1）直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
（2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？说明理由（一条理由即可）；
（3）已知七、八年级各有800名学生参加竞赛，请估计两个年级成绩处于C组的学生共有多少人？
23. 如图，已知矩形中，，．菱形的顶点在边上，且，顶点、分别是边、上的动点，连接．
（1）当四边形为正方形时，直接写出长；
（2）若的面积等于3，求的长；
（3）试探究点运动至什么位置时，的面积取得最小值．
八年级数学试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，试题卷共4页，答题卷共4页；
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用逆用二次根数的乘法公式解答即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了化为最简二次根式，掌握二次根数的乘法公式是解题的关键．
2. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【详解】解：A、a＜0时，不是二次根式，故A错误；
B、x＜−1时，不是二次根式，故B错误；
C、x＜−1时，不是二次根式，故C错误；
D、x取任意实数，x2＋1＞0，∴是二次根式，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
3. 某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ ）
A. 0.1B. 0.17C. 0.33D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出仰卧起座次数在15~20次之间的人数，根据频率＝计算即可
【详解】解：仰卧起座次数在15~20次之间的人数为30－10－12－5＝3，
∴仰卧起座次数在15~20次之间的频率是＝0.1，
故选：A
【点睛】此题考查了频率，熟练掌握频率的定义是解题的关键．
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故选D.
点睛：菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
5. 下列以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．据此即可求解即可．
【详解】解：A．∵，，
∴，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项A不符合题意；
B．∵，，
∴，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
C．∵，，，
∴，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D．∵，，，
∴，
∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
6. 方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A. x＝5B. x1＝0，x2＝5C. x1＝2，x2＝0D. x1＝0，x2＝﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【详解】解：x（x﹣2）＝3x，
x（x﹣2）﹣3x＝0，
x（x﹣2﹣3）＝0，
x＝0，x﹣2﹣3＝0，
x1＝0，x2＝5，
故选：B.
【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
7. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据根的判别式逐一判断即可．
【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
8. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（ ）
A. 12B. 14 C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【详解】
延长线段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.
在△ABN与△AEN中，
∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90∘，
∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.
又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.
9. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A. 14cmB. 15cmC. 24cmD. 25cm
【答案】D
【解析】
【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，然后利用勾股定理计算出即可．
【详解】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图：
，
在中，
根据勾股定理得：
，
所以它爬行最短路程为．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题关键在于把圆柱侧面展开去构建直角三角形.
10. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（ ）

A. 1B. C. D. ﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】如图连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．先证明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【详解】如图连接EF，延长BA使得AM＝CE，则△OCE≌△OAM．

∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，
∵∠EOF＝45°，
∴∠COE+∠AOF＝45°，
∴∠MOA+∠AOF＝45°，
∴∠EOF＝∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
，
∴△OFE≌△FOM，
∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x，
∵CE＝，
∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴点F的纵坐标为，
故选B．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于做辅助线
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 计算：_________．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的乘法，根据二次根式乘法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：3
12. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k≤5且k≠1
【解析】
【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤5且k≠1.
故答案为：k≤5且k≠1.
13. 若，是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
14. 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________.
【答案】或
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可.
【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，
如图1，点E在AB上，
∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcs30°=6，
在Rt△DBE中，BE=，
∴AB=AE+BE=8，
∴平行四边形ABCD的面积为；
如图2，点E在AB的延长线上，
∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcs30°=6，
在Rt△DBE中，BE=，
∴AB=AE-BE=4，
∴平行四边形ABCD的面积为，
故答案为或.
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键.
三、解答题：本题共9小题，共90分．
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根、零次幂、绝对值的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（1）根据二次根式的乘法、除法法则以及的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
16. 若，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，将代数式变形为，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
17. 已知方程组和方程组有相同的解，求a、b的值
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】由题意可联立方程组得：
解得：
把代入得
解得：
18. 已知，是方程的两个根．
（1）若，求的值：
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知：该一元二次方程有两个相等的实数根，从而令，即可求出结论；
（2）根据根与系数的关系可得，然后代入已知等式即可求出m的值，然后根据进行取舍即可．
【详解】解：（1）
∴．
解得
（2）是方程的两个根，
，
，
即
解得
∵方程有实数根，
．
解得：
应舍去．
．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况求参数的值和根与系数的关系，掌握一元二次方程根的情况与的关系和根与系数的关系是解决此题的关键．
19. 如图，在中，，垂足为，，．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等角对等边、勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据三角形内角和解题即可；
（2）由等腰直角三角形的性质，解得，继而根据等角对等边得到，再结合勾股定理得到，设，用直接开平方法解题．
小问1详解】
解：∵在中，，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
设，由勾股定理得，
即，
解得：，负值舍去，
即的长为．
20. 如图，已知平行四边形ABCD，点O为BD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE长．
【答案】(1)见解析;(2) AE =1.
【解析】
【分析】（1）先根据“SAS”证明△DOE≌△BOF，从而ED=BF，再根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形即可证得结论成立；
（2）过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，可证△ABH是等腰直角三角形，从而求出BH=HA=3，设AE=x，则EB=ED=6－x，在Rt△BHE中，利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵点O为AD中点，∴BO=OD
∵在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF，
∴ED=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
（2）如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，
∵∠BAD=135°，
∴∠BAH=45°
在Rt△ABH中，AB=3，
∴BH=HA=3，
设AE=x，
∵四边形BEDF为菱形，
∴EB=ED=6－x
在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2，
∴32+（3+x）2=（6－x）2
解得：x=1 ，
∴AE =1.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理.证明证明△DOE≌△BOF是解（1）的关键，正确做出辅助线，运用勾股定理列方程是解（2）的关键.
21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式．
（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
（2）是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个实数根
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵是方程的一个实数根，则，则，
则，即，
解得：（舍去）或．
故的值为．
22. 2022年10月31日15时37分，中国空间站梦天实验舱在长征五号B运载火箭的托举下顺利升空．某校为了解学生对航天知识的掌握情况，开展了“航天知识我来答”竞赛活动．现从七年级和八年级参与竞赛的同学中各随机选出20名学生的成绩（单位：分，满分100分）进行分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：，B组：，C组：，D组：，x表示成绩，成绩为整数），其中七年级成绩处于C组的有12人．
七年级C组成绩分别为：89，88，87，86，85，85，85，85，85，84，82，82；
七年级、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如下表所示：
（1）直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
（2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？说明理由（一条理由即可）；
（3）已知七、八年级各有800名学生参加竞赛，请估计两个年级成绩处于C组的学生共有多少人？
【答案】（1），，见解析
（2）八年级的学生对航天知识掌握得更好，理由见解析
（3）估计两个年级成绩处于组学生共有800人
【解析】
【分析】（1）先求出七年级组人数所占百分比，再利用减去三组人数所占百分比即可得的值；先求出七年级组的人数，再根据中位数的定义即可得的值；求出八年级组的人数，据此补全条形统计图即可；
（2）根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；
（3）分别利用800乘以七、八年级组人数所占百分比即可得．
【小问1详解】
解：七年级组人数所占百分比，
则，
所以；
七年级组的人数为（人），
因为七年级成绩处于组的有12人，
所以将七年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在组，分别为85，85，
则其中位数；
八年级组的人数为．
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：八年级的学生对航天知识掌握得更好，理由如下：
七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的学生对航天知识掌握得更好．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计两个年级成绩处于组的学生共有800人．
【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图、中位数和众数、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
23. 如图，已知矩形中，，．菱形的顶点在边上，且，顶点、分别是边、上的动点，连接．
（1）当四边形为正方形时，直接写出的长；
（2）若的面积等于3，求的长；
（3）试探究点运动至什么位置时，的面积取得最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）当点运动至时，的面积最小
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及矩形的性质得出，利用全等三角形的判定和性质求解即可；
（2）作，交的延长线于点M，连接，利用矩形及菱形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用三角形面积得出，结合图形求解即可；
（3）设，则，根据，得出随x的增大而减小，说明当取最大值时，的面积最小，即取最大值时，x的值最大，根据，得出此时最大，根据当点E与点B重合时，最大，求出结果即可．
【小问1详解】
解：如图所示，当四边形为正方形时，，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，作，交的延长线于点M，连接，

∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵的面积等于3，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：设，则，由（2）得：，
∴，
∴随x的增大而减小，
∴当取最大值时，的面积最小，
在中，，
∴当取最大值时，x的值最大，
∵，
∴此时最大，
当点E与点B重合时，最大，如图所示：
∴此时最大，也最大，
此时，
∴，
∴当点运动至时，的面积最小．
【点睛】本题主要考查矩形、正方形及菱形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
n
85
八年级
83
87
87
年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
n
85
八年级
83
87
87