安徽省淮南市寿县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省淮南市寿县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题，共18页。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，试题卷共4页，答题卷共4页；
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如果，那么下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 冠状病毒，其直径在750纳米至1000纳米之间，750纳米=0.00000075米，数据0.00000075用科学记数法表示正确是（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 计算，则等于（ ）
A 10B. 9C. 8D. 4
6. 下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
7. 计算（a﹣2）（a+3）的结果是（ ）
A. a2﹣6B. a2+a﹣6C. a2+6D. a2﹣a+6
8. 若4x2+（k﹣1）x+25是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）
A. 11B. 21C. ﹣19D. 21或﹣19
9. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，， 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共2分）
11. 计算：＝_____．
12. 若分式有意义，则x取值范围是______．
13. 若实数m、n满足，则________．
14. 如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则________度.
三、解答题（本题共9小题，共90分）
15. 计算：．
16. 解不等式：.
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．
19 有下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
请你按照上面的规律解答下列问题：
（1）第4个等式是 ；
（2）用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性．
20. 如图，已知，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
21. 今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
22. 为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
（1）求每棵甲、乙树苗的价格．
（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
23. 如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC+∠ACE＝90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当∠E＝90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E点移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？写出结论，并加以证明．
七年级数学·试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，试题卷共4页，答题卷共4页；
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】A.是有理数，故A错误；
B、是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、是无理数，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2. 如果，那么下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
C、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
D、如果，那么，故本选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3. 冠状病毒，其直径在750纳米至1000纳米之间，750纳米=0.00000075米，数据0.00000075用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000075=7.5×10-7．
故选：C．
【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示一元一次不等式的解集，表示解集时，包含要用实心点表示，不包含要用空心点表示，解题的关键是明确解不等式的方法和解集的表示方法．
根据不等式的性质：先移项，然后合并同类项再系数化1即可解得不等式，然后注意在数轴上表示时小于方向向左，包含，应用实心圆点表示．
【详解】
移项，合并同类项得：
解得：．
表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
5. 计算，则等于（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法即可求出答案，
【详解】解：由题意可知：a2＋x＝a12，
∴2＋x＝12，
∴x＝10，
故选A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，要注意是指数相加，底数不变．
6. 下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了最简分式的识别，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可．
【详解】解：A、是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，符合题意；
C、是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，不符合题意；
故选B．
7. 计算（a﹣2）（a+3）的结果是（ ）
A. a2﹣6B. a2+a﹣6C. a2+6D. a2﹣a+6
【答案】B
【解析】
【分析】根据多项式的乘法法则进行解答即可．
详解】（a﹣2）（a+3）=a2+3a-2a-6=a2+a﹣6，
故选B．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘法的运算法则是解题的关键．
8. 若4x2+（k﹣1）x+25是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）
A. 11B. 21C. ﹣19D. 21或﹣19
【答案】D
【解析】
【详解】∵4x2+（k﹣1）x+25是一个完全平方式，
∴k-1=±2×2×5,
解之得：k=21或k=-19.
故选：D.
9. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】A． ∵，
∴，故该选项符合题意；
B． ∵，
∴，故该选项不符合题意；
C． ∵，
∴，故该选项不符合题意；
D．∵
∴，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
10. 如图，， 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质，可得，即可得的度数．
本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】中，，，
，
∵，
，
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共2分）
11. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】分式的乘方等于分子分母分别乘方，计算即可得到结果．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方法则．
12. 若分式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】∵分式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 若实数m、n满足，则________．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】此题主要考查了零次幂和负整数指数幂，关键是掌握零指数幂：，负整数指数幂：为正整数．
首先利用非负数的性质确定、的值，再利用零次幂和负整数指数数的性质进行计算即可．
【详解】解：∵，
，
解得：，
，
故答案为：．
14. 如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则________度.
【答案】
【解析】
【分析】利用平行线的性质得到，由折叠的性质可知，，由即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了折叠的性质和平行线性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共90分）
15. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简进行中和有理数的乘方，然后计算加减．
此题考查了负整数指数幂，零指数幂，化简进行中和有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则．
【详解】
．
16. 解不等式：.
【答案】.
【解析】
【分析】不等式去分母整理后进行解得即可.
【详解】解：对原式进行整理后得：
，
，
，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，熟练掌握其技巧是解题的关键.
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
先算括号里面的，然后把除号化为乘号进行约分，最后代入求值即可得出答案．
【详解】原式
当时，原式．
18. 解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．
【答案】6.
【解析】
【详解】分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
详解：解不等式（x+1）≤2，得：x≤3，
解不等式，得：x≥0，
则不等式组的解集为0≤x≤3，
所以不等式组的整数解之和为0+1+2+3=6．
点睛：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 有下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
请你按照上面的规律解答下列问题：
（1）第4个等式是 ；
（2）用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查分式等式的规律，分式的加减混合运算，通过前3个等式找出等式分母的变化规律，是解题的关键．
（1）根据规律直接得出 第④个等式；
（2）根据规律可以得出第n个等式，然后利用分式的加减混合运算法则计算得出结果．
小问1详解】
；
【小问2详解】
由以上规律可知：，
证明：左边．
右边．
∵左边右边．
∴．
20. 如图，已知，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）．
【解析】
分析】（1）根据已知条件，先证明，继而得，根据等量代换得，从而得证；
（2）由（1）的结论，求得，再根据，求得的余角即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，求一个角的余角，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
21. 今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
【答案】（1）甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元
（2）乙商店租用服装的费用较少，理由见解析
【解析】
【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案．
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
【小问1详解】
解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝50，
∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
【小问2详解】
解：乙商店租用服装的费用较少．
理由如下：
该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：40×20＝800（元），
∵900＞800，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验．
22. 为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
（1）求每棵甲、乙树苗的价格．
（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
【答案】（1）每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；
（2）乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【解析】
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”列出方程组，可求解；
（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可．
【小问1详解】
解：设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 由题意可得：
， 解得：，
答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；
【小问2详解】
设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，
∴，
解得：，
∴的最小整数解为100．
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
23. 如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC+∠ACE＝90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当∠E＝90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E点移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？写出结论，并加以证明．
【答案】（1）AB∥CD，理由见解析；（2）∠BAE+∠ECD＝90°，理由见解析；（3）∠CPQ+∠CQP＝∠BAC，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线定义得出∠ACD＝2∠ACE，∠BAC＝2∠EAC，求出∠ACD+∠BAC＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BAE＝∠AFC，求出∠AEC＝∠AFC+∠ECD＝90°，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠BAC＝∠ACG，根据三角形外角性质得出∠ACG＝∠CPQ+∠CQP，即可得出答案．
【详解】解：（1）AB∥CD，
理由：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠ACD＝2∠ACE，∠BAC＝2∠EAC，
又∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACD+∠BAC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAE+∠ECD＝90°，
理由：延长AE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AFC，
∵∠AEC是△EFC的一个外角，
∴∠AEC＝∠AFC+∠ECD＝90°，
∴∠BAE+∠ECD＝90°；
（3）∠CPQ+∠CQP＝∠BAC，
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACG，
∵∠ACG是△PCQ的一个外角，
∴∠ACG＝∠CPQ+∠CQP，
∴∠CPQ+∠CQP＝∠BAC．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．