2025年人教A版高中数学必修二 高一下期中复习分类训练（易错题专练）（2份，原卷版+解析版）

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1．已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝（ ）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
2．已知复数z＝，则z的共轭复数是（ ）
A．1﹣iB．1+iC．iD．﹣i
3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定
4．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5．若△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝c2﹣b2+ba，则角C＝（ ）
A．B．C．D．
6．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，∠ACB＝π，∠BAC＝，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（ ）米
A．B．C．D．
7．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为（ ）
A．1B．C．2D．4
8．为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为（ ）
A．B．2C．D．4
9．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为45°．若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则csθ等于（ ）
A．B．C．D．
10．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）
A．63B．69C．75D．81
11．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（ ）
A．B．C．D．
12．平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：++＝，则下列结论正确的是（ ）
A．P在CA上，且＝2B．P在AB上，且＝2
C．P在BC上，且＝2D．P点为△ABC的重心
13．圆锥的高h和底面半径r之比h：r＝2：1，且圆锥的体积V＝18π，则圆锥的表面积为（ ）
A．18πB．9（1+2）πC．9πD．9（1+）π
14．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
15．在△ABC中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
16．在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若＝3，点E为线段AD的中点，＝λ+，则λ的值为（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
17．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）
18．已知a、b为不同直线，α、β为不同平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
B．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
C．若a⊂α，b⊂β，α、β不平行，则a、b为异面直线
D．若a∥α，b⊥β，α∥β，则a⊥b
19．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，若P为边BC上的动点，则•（+）＝（ ）
A．2B．4C．8D．0
20．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
21．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|﹣t|的最小值为1，则（ ）
A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定
C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定
22．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．18B．24C．36D．48
二．多选题
（多选）23．如图，棱长为a的正四面体形状的木块，点P是△ACD的中心．劳动课上需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）
A．截面不是平行四边形
B．截面是矩形
C．截面的面积为
D．截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABD
（多选）24．下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）
A．B＝30°，b＝，c＝2B．B＝30°，b＝2，c＝4
C．B＝30°，b＝2，c＝5D．A＝75°，B＝30°，b＝2
（多选）26．已知向量，，则（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为
D．若，则
（多选）27．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的侧面一定是矩形
B．三个平面至多将空间分为7个部分
C．圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成
D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥
（多选）28．若，，均为单位向量，且•＝0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣|的值可能为（ ）
A．B．1C．D．2
（多选）29．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为V，A，B是底面圆周上的两个动点，则（ ）
A．圆锥的侧面积为4π
B．圆锥的母线长为2
C．△VAB可能为等腰直角三角形
D．△VAB面积的最大值为
（多选）30．在△ABC中，＝3，，其中D，E均为边BC上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值3
B．△ABC面积的最大值为
C．的取值范围是（1，3]
D．若F为AC中点，则不可能等于
三．填空题
31．如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图为边长为1的正方形O'A'B'C'，则该平面图形的周长为 ；
32．水平放置的△ABC的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形A'B'C'．点O'是斜边B'C'的中点，且O'A'＝2，则△ABC底边BC的高为 ．
33．空间中三个平面最少把空间分成 部分；最多把空间分成 部分．
34．已知＝（x2，1﹣2x），＝（﹣2，﹣2），＝（﹣3，），若⊥，则x＝ ；若，则x＝ ．
35．在△ABC中，若a2＝b2+c2﹣bc，则A＝ ．
36．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x+y，则x＝ ，y＝ ．
37．为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向．再往正东方向行驶16海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿之间的距离为 海里．
38．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是 ．
39．如图，三个全等的三角形△ABF、△BCD、△CAE拼成一个等边三角形ABC，且△DEF为等边三角形，若EF＝2AE，则tan∠ACE的值为 ．
40．已知平面向量，，满足||＝4，||＝|﹣|＝2，则|+|的取值范围是 ．
41．△ABC中，已知B＝60°，AC＝3．
（1）△ABC面积的最大值是 ．
（2）若△ABC有两解，则BC的取值范围是 ．
42．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2＝2b2+c2，则的最大值为 ．
四．解答题
43．（Ⅰ）在①z+＝4，②z为纯虚数，③z为实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数z＝（m2﹣3m+2）+（m2﹣5m+6）i（i为虚数单位），为z的共轭复数，若 ______，求实数m的值．
（Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程：x2+2x+2＝0．
44．已知向量＝（1，3），＝（﹣1，3），＝（λ，2）．
（1）若＝m+3，求实数m，λ的值；
（2）若（2+）⊥（﹣），求与2+的夹角θ的余弦值．
45．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2（单位：cm）的正三角形．
（1）求该几何体的体积（单位：cm3）；
（2）求该几何体的表面积（单位：cm2）．
46．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）其中∠BCM＝30°，AB＝15m，AC＝25m．
（1）试求∠ACM的正弦值；
（2）当射程AP最短时，试求仰角的正切值tanθ．
47．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆分别交于点A，B，单位圆与x轴的正半轴交于点M，且S△MOB＝．
（Ⅰ）求cs（﹣2β）的值；
（Ⅱ）求•（+2）的取值范围．
48．如图，在平面四边形ABCD中，AC＝CD＝AD＝BC＝2，BC⊥CA．
（1）求的值；
（2）若，求m+n的值．
49．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．
50．如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD交于点M，CD＝，AD⊥DC，cs∠DCB＝﹣，∠ADB＝∠ACD＝60°．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求|AB|的长．
51．在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且bcsA＝sinA（acsC+ccsA）
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
52．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3asinC＝ccsA．
（1）求sinA的值；
（2）若的面积为9，求a的值．
53．在直线l上任取不同的两点A，B，称为直线l的方向向量与直线l的方向向量垂直的非零向量称为l的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线l1是函数y＝2x﹣4的图象，直线l2是函数的图象．
（1）求直线l1和直线l2所夹成的锐角的余弦值；
（2）已知直线l3平分直线l1与直线l2所夹成的锐角，求直线l3的一个方向向量的坐标；
（3）已知点P（3，4），A是l1与y轴的交点，是l1的法向量．求在上的投影向量的坐标（求出一个即可），并求点P到直线l1的距离．
54．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．
（1）设＝x+y，求x+y的值；
（2）若＝6，求的值．
55．在△ABC中，满足：⊥，M是BC的中点．
（Ⅰ）若||＝||，求向量+2与向量2+的夹角的余弦值；
（Ⅱ）若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值．
56．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且＝＝．求证：
①点E，F，G，H四点共面；
②直线EH，BD，FG相交于一点．
57．如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F、H为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面．
（1）求证：CE∥平面BDH；
（2）在棱BC上是否存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
58．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm．求：圆锥的母线长．
59．已知平面向量的夹角为60°，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）求的最大值．
60．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．