数学八年级上册（2024）1.1 多项式的因式分解完美版课件ppt

这是一份数学八年级上册（2024）1.1 多项式的因式分解完美版课件ppt，共22页。PPT课件主要包含了学习目标，多项式的因式分解，多项式，整式的积，整式乘法，因式分解，互逆关系，x²+x-20等内容，欢迎下载使用。
了解因式分解的意义，理解因式分解的概念
能够根据因式分解的概念找出多项式的因式
掌握因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(相反变形)，并能运用这种关系解决因式分解的相关问题
1.多项式的乘法有几种形式？
单项式乘以多项式：多项式乘以多项式：
平方差公式：完全平方公式：
（x+y）(x-y)=x2-y2
(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2
a(m+n)=am+an
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
= （x+1)( x+1)
等式的左边到右边的变形属于什么运算？变形的结果是和的形式还是积的形式？
等式的左边到右边的变形的结果是和的形式还是积的形式？
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式．
单项式可看作只有一项的多项式↗
x+1是多项式x2+2x+1的因式
因为(x－2)(x－3) = ，所以 = (x－2)(x－3)是多项式 的因式分解.
解：(x－2)(x－3) = x²－3x－2x＋(－2)×(－3) = x²－5x＋6，因此三个空格都填写 x²－5x＋6.
多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？与同学交流你的想法。
x2 － y2 = ( x + y )( x － y )
( x + y )( x － y )= x2 － y2
例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
(1) x(x－2y) = x2－2xy；
(2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1；
(4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1).
是乘积的形式，也是恒等变形
例2解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法.
(2) 不是因式分解，理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
(4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1.
因为(x－4)(x+5) = ，所以 = (x－4)(x+5)是多项式 的因式分解.
解：(x－4)(x+5) = x²－4x+5x＋(－4)×5 = x²+x-20，因此三个空格都填写 x²+x-20.
2、判断哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
(1) a2+2ab+b2=(a+b)2 ( )
(2) m2+m-4=m(m+1)-4 ( )
(3) am+an+a=a(m+n) ( )
(4) 4a2-b2=(2a+b)(2a-b) ( )
(5) 24x2y=3x ·8xy ( )
(6) x2+x=x2(1+ ) ( )
不是恒等变形，左右两边不相等
因式分解的对象是多项式，不是单项式
3. 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解： (1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y) (2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy (3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1 (4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (5) 2πR + 2πr = 2π(R + r)
4.下列多项式中，分解因式的结果为﹣(x + y)(x﹣y) 的是（　）A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2
5、检验下列因式分解是否正确.
（1）x2+xy=x( x+y )；（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；（3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ).
解：（1）因为x( x+y )=x2+xy。所以（1）正确；（2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确；（3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2， 所以（3）不正确.
6、 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
(1)(x+1)(x+2)=x2+3x+2；
(2)2x2y+4xy2 = 2xy(x+2y)
(3) x2-2 = (x+1)(x-1)-1；
(4) 4x2-4x+1= (2x－1)2.
6、解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法.
(2) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 2xy(x+2y) =2x2y+4xy2 ，因而符合因式分解的定义. 2x2y+4xy2 的因式为 2xy 和 x+2y.
(4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (2x－1)2=4x2-4x+1 ，因而符合因式分解的定义. 4x2-4x+1 的因式为2x-1.
(3) 不是因式分解. 理由：等式右边不是两个多项式的乘积形式.
解：(x+2y+m)(2x-y+n) =2x2-xy+nx+4xy-2y2+2ny+2mx-my+mn =2x2+3xy-2y2+(n+2m)x+(2n-m)y+mn根据题意可得n+2m=-1,2n-m=8,mn=-6所以m=-2,n=3
2. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.
解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， 所以 a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， 所以 b = 9. 因此 a + b = 15.
3. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.
解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4，所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).则 x4 + mx3 + nx﹣16= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.比较系数得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100．