苏科版2025年新七年级数学暑假培优练开学摸底测试卷(一)(原卷版+解析)

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选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．如图，的内错角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．
【详解】解：的内错角是．
故选：B．
2．下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得答案．
【详解】解：A、，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意；
B、，满足三边关系定理，故正确，符合题意；
C、，不满足三边关系定理，故错误，不符合题意；
D、，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意．
故选：B．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．已知单项式与是同类项，则的值为（ ）
A．7B．5C．3D．1
【答案】A
【分析】本题考查了同类项的概念，理解同类项的概念是解决本题的关键．利用同类项的概念“相同字母的指数相同”来建立方程组，然后两方程相加解求解．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
∴，
故选：A．
5．下列命题中：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则，正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理．利用反例对（1）进行判断；利用不等式的性质对（2）、（3）、（4）进行判断．
【详解】解：当，，，，满足，，但，所以（1）错误；
当，若，则，所以（2）错误；
当，若，则，所以（3）错误；
若，则，所以（4）正确．
故选：A．
6．某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键．小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据得分不低于70分，列出不等式即可．
【详解】解：小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据题意得：
，
故选：C．
7．若的展开式中不含有的一次项，则，的关系是（ ）
A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．积为零
【答案】B
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先利用多项式乘以多项式的计算法则展开，再根据展开式中不含一次项，即含一次项的系数为0进行求解即可．
【详解】，
∵的展开式中不含有的一次项，
∴，
即，互为相反数，
故选：B．
8．如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是（ ）
A．B．C．27D．3
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的乘法运算及整式的加减运算；由两根铁丝长度相同，求出乙长方形的长，分别计算出，，则可计算．
【详解】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为，
则，，
∴；
故选：D．
9．已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解每个不等式得出不等式组的解集为，据此知不等式组的最大整数解为1，根据最大整数解与最小整数解的差为3得最小整数解为，进一步求解即可得出答案．本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组最大整数解与最小整数解的差得出最小整数解．
【详解】解：∵
∴由，得出，
由，得出，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为1，
∵最大整数解与最小整数解的差是3，
∴最小整数解为，
∴，
故选：A．
10．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）

①；②；③；④．
A．①②④B．①②③C．①②D．①②③④
【答案】A
【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【详解】解：∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴
，
∴，故①正确，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，
∵平分，平分，

∴，，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确，
综上正确的有：①②④．
故选A
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
12．不等式组的所有整数解的和为 ．
【答案】5
【分析】此题主要考查解一元一次不等式组．先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后找出两个解集的公共部分所有整数求和即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
不等式组的整数解是：2，3，
∴不等式组的整数解的和为：，
故答案为：5．
13．已知，用含x的式子表示y，则 ．
【答案】/
【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤及正确根据等式的性质进行变形．利用等式的性质进行变形解答即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为： ．
14．已知，则、、的大小关系为 (用“”号连接)．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，把它们化为底数相同的幂，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是 ．
【答案】/92度
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．延长交于，由三角形的外角性质得，再由平行线的性质得出即可．
【详解】解：如图，延长交于，
，
．
，
，
故答案为：．
16．如图，、分别是的内角、外角平分线，若，则 °．
【答案】80
【分析】本题主要考查角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形外角的性质是解题的关键．
首先根据平分线的概念得到，．然后利用三角形外角的性质得到，进而得到，即可求解．
【详解】∵、分别是的内角、外角平分线，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：80．
17．若，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解的应用，由已知条件得出，，，再将式子化为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
18．已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
【答案】/3≥a＞2
【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解．
【详解】解：由①与②进行如下运算：
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴，
∵，，
∴，
故，
∵x只能取两个整数，
故令整数的值为n，n+1，
则，，
故，
∴，且，
∴，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键．
三、解答题（10小题，共64分）
19．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据乘方运算，负指数幂的运算，非零数的零次幂运算法则即可求解；
（2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方，负指数幂的运算，非零数的零次幂的运算是解题的关键．
20．将下列多项式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
21．（1）解方程组
（2）解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】（1）（2），数轴见详解
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用加减消元求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求解即可．
【详解】（1）解：
①，得③，
②+③，得
解得，
把代入①，得.
解得，
∴这个方程组的解为．
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴这个不等式的解集为，
在数轴上的表示如图所示：
22．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)当时，求x，y的值；
(2)当时，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式．
（1）将代入二元一次方程组，用消元法解二元一次方程组即可；
（2）解方程组得出，根据得出关于a的不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：，
，
由①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：
（2）由得，，
，
，
解得．
23．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△，图中标出了点B的对应点．利用网格点和三角板画图或计算：
(1)在给定方格纸中画出平移后的△；
(2)画出AB边上的中线CD，BC边上的高线AE；
(3)图中AC与的关系是： ；
(4)△的面积为 ．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)，
(4)8
【分析】（1）根据平移的性质作出△即可；
（2）找到AB的中点D，连接CD，过A向BC延长线作垂线即可得出中线CD和高线AE；
（3）根据平移性质：对应线段平行（或共线）且相等解答即可；
（4）根据直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，△即为所求；
（2）解：如上图，线段CD、AE即为所求作；
（3）解：由图可知，，，
故答案为：，；
（4）解：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查基本作图-平移、画三角形的高和中线、网格中求三角形的面积，熟知网格结构和平移性质，正确作出图形是解答的关键．
24．如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证；
（2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度数．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键．
25．为迎接即将到来的“五一劳动节”，某日用品超市推出了两种优惠促销方式供顾客选择，并规定顾客只能选择其中一种促销方式进行结算付款.
促销方式一：按所购商品原价打85折；
促销方式二：按所购商品原价每满300减60.（如：所购商品原价为340元，则减60元，需付款280元；所购商品原价为630元，则减120元，需付款510元）
(1)若某商品原价为500元，该选择哪种促销方式更优惠？请说明理由；
(2)当商品原价为多少时，两种促销方式一样优惠；
(3)若某商品原价为元，请问当满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠，请说明理由.
【答案】(1)促销方式一更优惠，理由见解析
(2)当商品原价为400的整数倍时，两种促销方式一样优惠
(3)当或时，促销方式二更优惠
【分析】（1）分别求出当商品原价为500元时，选择两种促销方式需付款的金额，比较后即可得出结论；
（2）设商品原价为元，依题意，列出关于的两种方式一样优惠的一元一次方程，解出即可得出结论；
（3）分，及三种情况考虑，当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，显然此时促销方式一比促销方式二更优惠；当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，根据促销方式二比促销方式一更优惠，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，可得出的取值范围；当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，根据促销方式二比促销方式一更优惠，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，可得出的取值范围．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据两种促销方式，求出选择两种促销方式需付款的金额；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：选择促销方式一更优惠，理由如下：
选择促销方式一需付款（元；
选择促销方式二需付款（元．
，
选择促销方式一更优惠；
（2）设商品原价为元，按促销方式二，可优惠元，且为正整数；
，
解得：；
答：当商品原价为400元的整数倍时，两种促销方式一样优惠；
（3）当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，
此时促销方式一比促销方式二更优惠；
当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，
根据题意得：，
解得：，
当时，促销方式二比促销方式一更优惠；
当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，
根据题意得：，
解得：，
当时，促销方式二比促销方式一更优惠．
答：当或时，促销方式二比促销方式一更优惠．
26．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的正整数解 ；
(2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ；
(3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解．
【答案】(1)
(2)0或
(3)当时；当时
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程：
（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；
（2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案；
（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵、为正整数，
∴是3的倍数，且，
∴只有，满足题意，
∴方程的正整数解为；
故答案为： ；
（2）解；∵为负整数，，
∴或或或，
解得或（舍去）或或（舍去）；
故答案为：0或；
（3）解：，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为
∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，
∴都是正整数，
∴当为正整数时，或或或；
当为正整数数，或，
∴只有当或时都是正整数，
∴或，
∴当时，；当时，。
27．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
(1)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为________；
(2)如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．

①若，判定是否是“梦想三角形”，为什么？
②当为“梦想三角形”时，则的度数是_________．
【答案】(1)或
(2)①是“梦想三角形”；理由见解析；②或或
【分析】（1）分两种情形：当是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可．
（2）①根据“梦想三角形”的定义可以判断：是“梦想三角形”；
②分六种情况进行讨论当是的三倍时，当是的三倍时，当是三倍时，当是三倍时，当是的三倍时，当是是的三倍时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：当是三角形的一个内角的3倍，则这个内角为，
第三个内角为：，
故此时最小的内角是，
当另外两个内角是3倍关系时，则有另外两个内角中较小的内角为：
，
故此时最小的内角是；
故答案为：或．
（2）解：①是“梦想三角形”，理由如下：
，
，
∵，，
又∵，
，
，
“梦想三角形”．
②，
，
∵，
∴；
当是的三倍时，则，
∴；
当是的三倍时，则，
∴此时点C与点O重合，不符合题意；
当是三倍时，则，
∴；
当是三倍时，则，
∵点C在线段上，且点C不与O、B重合，
∴，即，
∵，
∴此时不符合题意；
∴不可能是的三倍；
当是的三倍时，则，
∴；
当是是的三倍时，则，
∵点C在线段上，且点C不与O、B重合，
∴，即，
∵，
∴此时不符合题意；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，垂线定义理解，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
28．【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若，，求的值；
【类比应用】（2）填空：①若，则 ；
②若，则 ；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．

【答案】（1）；（2）①7；②3；（3）30．
【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案；
（2）①设，，则，，由进行计算即可；
②设，，则，，由进行计算即可；
（3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∵，
，
答：；
（2）①设，，则，，
，
故答案为：7；
②设，，则，，
，
故答案为：3；
（3）设，，
，，
，，
即，，
，
即，
，
答：一块直角三角板的面积为30．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．