湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二（上）期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二（上）期末质量检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，其焦点坐标为，
故选：B
2. 已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（ ）
A. 160B. 253C. 180D. 190
【答案】B
【解析】设数列的首项为，公差为，
因为，所以，解得，
所以，
故选：B.
3. 如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】连接，
.
故选：A.
4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为直线的斜率，即，
又，
所以，故选：D
5. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A. ＋＝1B. ＋＝1
C. ＋＝1D. ＋＝1
【答案】D
【解析】设、，所以，运用点差法，
所以直线斜率为，
设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
6. 已知原点到直线距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】C
【解析】由已知，直线满足到原点的距离为，到点的距离为，满足条件的直线即为圆和圆的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C.
7. 手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正方体中，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
因为，，
则、、、，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：B.
8. 已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，作，垂足为，
根据椭圆与双曲线的定义可得，
解得，，
，
，
设点，
则在中，
即点的横坐标为，即，，
由勾股定理可得，
整理得，即，
，当且仅当时等号成立，
.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确是（ ）
A. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
B. 过双曲线焦点的最短弦长为
C. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D. 已知，，则在方向上的投影向量为
【答案】AD
【解析】选项A：由解得两根为和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，A说法正确；
选项B：设双曲线方程为，当过双曲线焦点的直线与实轴垂直时，令，则，
此时弦长为，若，则有，此时最短弦长不为，B说法错误；
选项C：因为，所以直线在平面内或，C说法错误；
选项D：由题意可知在方向上的投影向量为，D说法正确；
故选：AD
10. 已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ）
A. 是递减数列B.
C. 使时的最小值是21D. 最小时，
【答案】BCD
【解析】已知等差数列的前项和为，，，
所以，所以，
所以，即是递增数列，故A错误；
而，所以，故B正确；
又，若，则，
所以使时的最小值是21，故C正确；
，又，所以最小时，，故D正确.
故选：BCD.
11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线围成的图形有6条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5
D. 若是曲线上任意一点，的最小值是
【答案】BD
【解析】当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
所以曲线的图象如图所示，
对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A错误；
对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确；
对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误；
对于D：到直线的距离，
而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为，故D正确；
故选：BD
12. 如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）

A. 与所成角为
B. 平面截正方体所得截面的面积为
C. 平面
D. 若，则三棱锥的体积最大值是
【答案】BCD
【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
∴，，，
对A选项，，
则直线与所成角为，故A错误；
对B选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点的中点，的中点，连接，延长一定与交于一点，所以四点共面，同理可证四点共面，
则过点作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
则正六边形的面积为，故B正确.
由正方体，可得，
∵分别为的中点，∴，
∴平面平面，
∴平面，故C正确；
如图，面，
又面，故，同理，
又，
根据题意可得，设，
又，
∴，整理得，
∴在正方形面内(包括边界)，是以为圆心，半径的圆上的点，

令，可得，
∴当为圆与线段的交点时，到底面的距离最大，最大距离为，
∴三棱锥的体积最大值是，故D正确.
故选:BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面3节的容积共3升，最下面3节的容积共6升，则第5节的容积为__________升．
【答案】
【解析】设竹节自上而下分别为，等差数列的公差为，
由题意可得，即，
解得，所以.
故答案为：.
14. 已知直线互相垂直，则的值为______ .
【答案】.
【解析】因为直线 互相垂直，
则有，即，
进一步化简得，
解得或，故答案是0或2.
15. 已知点是抛物线上一动点,则的最小值为_________．
【答案】7
【解析】由题意可知抛物线的焦点为，准线为，
因为点是抛物线上一动点，设，，
则由两点间距离公式可得表示，
又根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离，
即，
当且仅当三点共线时，最小，
即最小值为点到准线的距离，
故答案为：
16. 如图,在棱长为3的正方体中,在线段上,且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为__________.
【答案】
【解析】如图，
在线段上取一点，使得，在线段上取一点，
使得，连接，
因为，所以，
又，所以，
因为平面平面，所以平面，
同理，因为平面平面，所以平面，
又，所以平面平面，因此，在线段上.
因为，
所以线段的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解答下列问题：
（1）求过点，且与直线平行的直线方程；
（2）求过点，，三点的圆的标准方程．
解：（1）设与直线平行的直线为，
将代入得，解得，
故所求直线方程为.
（2）设圆的方程为，，
由题意可得，即，
解得，，，
则圆的方程为，即．
18. 设为数列的前n项和，且
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
解：（1）由题意，数列满足，可得，
则，所以，
又由，所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列.
（2）由数列表示首项为，公差为的等差数列，
可得，所以，
当时，可得，
因为，可得，不适合上式，
所以数列的通项公式为．
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右顶点为,过作直线与椭圆交于另一点,且,求直线l的方程．
解：（1）由题可知，其中，所以,
又点在椭圆上，所以，即，解得，
所以椭圆E的方程为．
（2）由椭圆的方程，得，
所以，
设，其中，因为，
所以，
又点在椭圆上，所以，
联立方程组，
得，
解得或（舍），
当时，，即或．
所以当的坐标为时，直线的方程为；
当的坐标为时，直线的方程为．
综上，直线的方程为或.

20. 已知圆.
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程；
解：（1）圆，圆心，半径
当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离，
则相交弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为：，即
此时圆心到直线的距离，则相交弦长为
，解得：
所以此时直线的方程为：，即.
综上，直线的方程为或
（2）在圆外，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为：，则圆心到直线的距离，
所以弦长，所以，
当时最大，即，即，解得或，
的最大值为1，所以直线的方程为：或
21. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．
（1）证明：AE⊥PB；
（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．
解：（1）连接BD，设AE的中点为O，
∵AB∥CE，AB＝CECD，
∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，
∴△ADE，△ABE为等边三角形，
∴OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后，又OP∩OB＝O，
∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，
∴AE⊥PB．
（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，
∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO，
又OP＝OB，∴OP⊥OB，
∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，
以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），
∴（，0，），（，，0），
设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），则，即，
令x得（，﹣1，1），
又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，
设二面角A﹣EP﹣C为α，则|csα|＝|cs|，
由图可知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以csα．
22. 已知双曲线方程为，，为双曲线的左、有焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作斜率不为0的直线交双曲线于两点；则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值及此时面积的最小值，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可得，所以，
又由可得，
因为，．所以，
由双曲线的定义，可得，
而，所以，解得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可得，因为直线的斜率不为0，设，，，
联立，
整理可得，
则由题意得，，，，
因为
，
要使为定值，则，解得，，
所以在轴上存在定点使得为定值，且定值为0，
因为双曲线渐近线方程为，
此时
，
又，，则，令，
则，
所以，又在上单调递减，
所以当，即，方程为时，面积取到最小值，且．