湖北省武汉市新洲区部分学校2024~2025学年高一下册4月期中质量检测数学试题【附解析】

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考试用时：120分钟满分：150分考试时间：2025.04
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设为基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则k值是（ ）
A. 2B. -4C. -2D. 3
2. 若复数，则（ ）
A. B. 2C. D. 10
3. 角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）

A. B. 12C. 12D. 24
5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A. B. C. D.
6. 已知非零向量满足，且，则与夹角为
A. B. C. D.
7. 设函数，，，则可以是（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
8. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部是B. 的共轭复数是
C. D.
10. 已知向量，，记向量，的夹角为，则（ ）
A. 若为钝角，则B. 若为锐角，则
C. 当时，为直角D. 当时，为平角
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（ ）
A. 关于的函数解析式为（）
B. 点第一次到达最高点需用时5秒
C. 点再次接触水面需用时8秒
D. 当点运动2秒时，距水面的高度为2米
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，则______．
13. 已知，，，点在直线上运动，则的最小值为______．
14. 直线与曲线和曲线分别相交于点，．
（1）若，则的最大值为______；
（2）若的最大值为，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，
（1）求；
（2）求与的夹角余弦值；
（3）求向量在向量上的投影向量的坐标.
16. 已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为．
（1）求向量的坐标；
（2）若对应点在第四象限，求实数的取值范围．
17. 如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
（1）如果烧烤区是一个占地面积为平方米三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？
18. 已知，，函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值；
（3）在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围．
19. 如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，．
（1）设，，，求的范围；
（2）若，求的最小值；
（3）若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由．