高中数学苏教版 (2019)必修 第二册空间图形的表面积习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册空间图形的表面积习题，共8页。
[A 基础达标]
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶ eq \r(3)
C．1∶ eq \r(5) D． eq \r(3) ∶2
2．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A．4π2 B．3π2
C．2π2 D．π2
3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )
A．81π B．100π
C．14π D．169π
4．一个正四棱锥的底面边长为2，高为 eq \r(3) ，则该正四棱锥的全面积为( )
A．8 B．12
C．16 D．20
5．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为 eq \f(\r(33),6) a，则此正三棱台的侧面积为( )
A．a2 B． eq \f(1,2) a2
C． eq \f(9,2) a2 D． eq \f(3,2) a2
6．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________．
7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
8．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．
9．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．
10．设正三棱锥S ­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[B 能力提升]
11．如图所示， △ABC的三条边长分别为AB＝4，AC＝3，BC＝5，现将此三角形以BC边所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为( )
A． eq \f(48,5) π B． eq \f(36,5) π
C． eq \f(84,5) π D． eq \f(12,5) π
12．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为( )
A． eq \f(9,4) B．3
C．12 D．36
13．已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A．1∶ eq \r(2) B．1∶ eq \r(3)
C．2∶ eq \r(2) D．3∶ eq \r(6)
14．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是多少？
[C 拓展探究]
15．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积与全面积．
参考答案
[A 基础达标]
1.解析：选C．设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝ eq \r(5) r.所以S侧＝πrl＝ eq \r(5) πr2，S底＝πr2.故选C．
2．解析：选A．由题意侧面展开图的边长为2π×1＝2π，面积为(2π)2＝4π2.故选A．
3．解析：选B．设圆台上底半径为r，则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r＝2.然后由圆台侧面积公式得，s＝π(r1＋r2)l＝π(2＋8)×10＝100π.
4．解析：选B．由题得侧面三角形的斜高为 eq \r(（\r(3)）2＋12) ＝2，所以该四棱锥的全面积为22＋4· eq \f(1,2) ·2·2＝12.故选B．
5．解析：选C．如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝ eq \f(1,3) × eq \f(\r(3),2) ×2a＝ eq \f(\r(3),3) a，O1D1＝ eq \f(1,3) × eq \f(\r(3),2) ×a＝ eq \f(\r(3),6) a，所以DE＝OD－O1D1＝ eq \f(\r(3),6) a.
在Rt△DED1中，D1E＝ eq \f(\r(33),6) a，
则D1D＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(33),6)a))\s\up12(2)) ＝ eq \r(\f(3,36)a2＋\f(33,36)a2) ＝a.所以S侧＝3× eq \f(1,2) (a＋2a)a＝ eq \f(9,2) a2.故选C．
6．解析：解方程x2－9x＋18＝0得x＝3或x＝6，所以棱台的上下底面边长分别为3，6.
设棱台的斜高为h，则4× eq \f(1,2) ×(3＋6)h＝32＋62＝45，所以h＝ eq \f(5,2) .即答案为 eq \f(5,2) .
答案： eq \f(5,2)
7．解析：因为圆柱的轴截面是边长为a的正方形，故圆柱的底面半径r＝ eq \f(1,2) a，母线长l＝a，
故圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)＝ eq \f(3,2) a2π，因为圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，
故圆锥的底面半径r＝ eq \f(1,2) a，母线长l＝a，故圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝ eq \f(3,4) a2π，
故它们的表面积之比为2∶1，故答案为2∶1.
答案：2∶1
8．解析：原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为 eq \f(1,3) a，每个小正方体的表面积S1＝ eq \f(1,9) a2×6＝ eq \f(2,3) a2，所以27个小正方体的表面积是 eq \f(2,3) a2×27＝18a2.
答案：18a2
9．解：如图，
在四棱台ABCD ­A1B1C1D1中，
过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF＝ eq \f(1,2) ×(8－4)＝2，
B1B＝8，
故B1F＝ eq \r(82－22) ＝2 eq \r(15) ，
所以S梯形BB1C1C＝ eq \f(1,2) ×(8＋4)×2 eq \r(15) ＝12 eq \r(15) ，
故四棱台的侧面积S侧＝4×12 eq \r(15) ＝48 eq \r(15) ，
所以四棱台的表面积S表＝48 eq \r(15) ＋4×4＋8×8＝80＋48 eq \r(15) .
10．解：如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE，则SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以3× eq \f(1,2) ah′＝ eq \f(\r(3),4) a2×2，所以a＝ eq \r(3) h′.
因为SO⊥OE，且OE＝ eq \f(1,3) × eq \f(\r(3),2) a＝ eq \f(\r(3),6) × eq \r(3) h′，
所以由SO2＋OE2＝SE2，得32＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′)) eq \s\up12(2) ＝h′2，
所以h′＝2 eq \r(3) ，a＝ eq \r(3) h′＝6，
所以S底＝ eq \f(\r(3),4) a2＝ eq \f(\r(3),4) ×62＝9 eq \r(3) ，S侧＝2S底＝18 eq \r(3) ，
所以S表＝S侧＋S底＝18 eq \r(3) ＋9 eq \r(3) ＝27 eq \r(3) .
[B 能力提升]
11．解析：选C．A点到BC的距离d＝ eq \f(AB·AC,BC) ＝ eq \f(12,5) ，得到的立体几何体为两个圆锥，该圆锥底面周长为l＝2π·d＝ eq \f(24π,5) ，所以表面积为S＝ eq \f(1,2) l·AB＋ eq \f(1,2) l·AC＝ eq \f(84,5) π，故选C．
12．解析：选B．根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，设圆锥的母线长为L，截得小圆锥的母线长为l，因为圆台的上、下底面互相平行，所以 eq \f(l,L) ＝ eq \f(r,R) ＝ eq \f(1,4) ，可得L＝4l.因为圆台的母线长9，可得L－l＝9，所以 eq \f(3,4) L＝9，解得L＝12，所以截去的圆锥的母线长为12－9＝3；故选B．
13．解析：选B．棱锥 B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，
则 B′C＝ eq \r(2) ，S△B′AC＝ eq \f(\r(3),2) .
三棱锥的表面积 S锥＝4× eq \f(\r(3),2) ＝2 eq \r(3) ，
又正方体的表面积 S正＝6.
因此 S锥∶S正＝2 eq \r(3) ∶6＝1∶ eq \r(3) ；故选B．
14．解：如图①是棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 2 eq \r(2) ，其面积为 8.

[C 拓展探究]
15．解：(1)设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，
所以S大棱锥侧＝6× eq \f(1,2) ×2a×2h＝12ah，S小棱锥侧＝6× eq \f(1,2) ah＝3ah，
所以棱台的侧面积为12ah－3ah＝9ah，
因此，大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为4∶1∶3.
(2)因为小棱锥底面边长为4 cm，所以大棱锥底面边长为8 cm，
又因为大棱锥的侧棱长为12 cm，所以斜高为 eq \r(122－42) ＝8 eq \r(2) (cm)，
所以S大棱锥侧＝6× eq \f(1,2) ×8×8 eq \r(2)
＝192 eq \r(2) (cm2)，
所以棱台的侧面积为 eq \f(3,4) ×192 eq \r(2)
＝144 eq \r(2) (cm2)，
S棱台上底面＝6× eq \f(\r(3),4) ×42＝24 eq \r(3) (cm2)，
S棱台下底面＝6× eq \f(\r(3),4) ×82＝96 eq \r(3) (cm2)，
所以S棱台全＝144 eq \r(2) ＋120 eq \r(3) (cm2)，
故棱台的侧面积为144 eq \r(2) cm2，全面积为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(144\r(2)＋120\r(3))) cm2.