2024-2025学年广西来宾市兴宾区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广西来宾市兴宾区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各组数，属于勾股数的是
A．1，，2B．6，8，10C．0.3，0.4，0.5D．2，3，4
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
3．如图，公路，互相垂直，的中点与点被湖隔开．测得长为，则的长为
A．B．C．D．
4．如图，在△中，点，点，点分别是，，的中点，若△的周长是12，则△的周长是
A．12B．6C．10D．8
5．若这个正多边形的内角和是外角和的5倍，则它的边数是
A．5B．6C．10D．12
6．如图，的对角线与相交于点，下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
7．如图，已知，垂足为点，，要根据“”证明△△，还需要添加的一个条件是
A．B．C．D．
8．如图，在中，，点在的延长线上，，若平分，则的长为
A．6B．3C．2D．5
9．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是
A．一直增大B．不变C．先减小后增大D．先增大后减小
11．如图，已知△中，，平分，且．若，则点到边的距离为
A．2B．3C．6D．9
12．如图，菱形的面积为24，点是的中点，点是上的动点．若△的面积为4，则图中阴影部分的面积为
A．6B．8C．12D．10
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
13．在△中，，，，则 ．
14．如图，在△中，，，，则 ．
15．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，则的度数为 度．
16．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，△与△关于点对称．
（1）画出△；
（2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
18．如图，在△中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与的交点为点．
（1）判断与有什么数量关系，并说明理由．
（2）当，，求的长．
19．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为22，，，求的长．
20．如图，点是内一点，把绕点顺时针方向旋转得到，若，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数．
21．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：．
【深入思考】
如图2，在△中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角△，其中，，过点作，垂足为点．
（1）求证：，．
（2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：．
22．如图，在中，对角线、相交于点，．
（1）求证：．
（2）点在边上，满足，若，，求及的长．
23．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为 ．
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为 米．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．下列各组数，属于勾股数的是
A．1，，2B．6，8，10C．0.3，0.4，0.5D．2，3，4
解：、1，，2，三个数不都是正整数，不是勾股数，不符合题意；
、6，8，10，三个数都是正整数，且，是勾股数，符合题意；
、0.3，0.4，0.5，、三个数都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
、2，3，4，三个数都是正整数，但，不是勾股数，不符合题意．
故选：．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
解：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
故选：．
3．如图，公路，互相垂直，的中点与点被湖隔开．测得长为，则的长为
A．B．C．D．
解：公路，互相垂直，测得长为，
，
，
点是的中点，
，
故选：．
4．如图，在△中，点，点，点分别是，，的中点，若△的周长是12，则△的周长是
A．12B．6C．10D．8
解：由题意可得：，，，
，
△的周长为12，
，
．
故选：．
5．若这个正多边形的内角和是外角和的5倍，则它的边数是
A．5B．6C．10D．12
解：设这个正多边形的边数为，这个正多边形的内角和是外角和的5倍，
由题意得，，
解得，
故选：．
6．如图，的对角线与相交于点，下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
解：四边形是平行四边形，
，
根据现有条件无法证明，，，
故选：．
7．如图，已知，垂足为点，，要根据“”证明△△，还需要添加的一个条件是
A．B．C．D．
解：，
，
已知，
从图中可知、分别为△和△的斜边，
根据“”定理，证明△△，
还需补充一对斜边相等，
即，
故选：．
8．如图，在中，，点在的延长线上，，若平分，则的长为
A．6B．3C．2D．5
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
9．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为
A．B．
C．D．
解：由题意及勾股定理可得：，
故选：．
10．如图，在中，，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是
A．一直增大B．不变C．先减小后增大D．先增大后减小
解：如图，连接．
，，
，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：．
11．如图，已知△中，，平分，且．若，则点到边的距离为
A．2B．3C．6D．9
解：设，则，
，
，
，
，
，
过点作于，
平分，，，，
．
故选：．
12．如图，菱形的面积为24，点是的中点，点是上的动点．若△的面积为4，则图中阴影部分的面积为
A．6B．8C．12D．10
解：连接，连接，
是的中点，
，
同理可得，
，
，
，
，
△．
故选：．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
13．在△中，，，，则 4 ．
解：在△中，，，，
由勾股定理可得：．
故答案为：4．
14．如图，在△中，，，，则 5 ．
解：由条件可知，
故答案为：5．
15．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，则的度数为 60 度．
解：四边形是正方形，
，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：60．
16．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 3 ．
解：设，则，
，，，
，，，
，即，
解得：，即线段的长为3，
故答案为：3．
三、解答题：本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，△与△关于点对称．
（1）画出△；
（2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
解：（1）如图，△即为所求．
（2）四边形是平行四边形．
理由：△与△关于点对称，
，，
四边形是平行四边形．
18．如图，在△中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与的交点为点．
（1）判断与有什么数量关系，并说明理由．
（2）当，，求的长．
解：（1），理由如下：
，分别是，的中点，
是△的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
；
（2），，，
，．
由（1）知四边形是平行四边形，是的中点，
，．
，
，
，
．
19．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为22，，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
20．如图，点是内一点，把绕点顺时针方向旋转得到，若，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数．
解：（1）根据图形的旋转不变性，
，
，
又因为，
所以和均为等边三角形，
于是，
，
又因为，
所以；
故为直角三角形．
（2）因为为直角三角形，
所以，
又因为为等边三角形，
所以，
故，
即．
21．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：．
【深入思考】
如图2，在△中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角△，其中，，过点作，垂足为点．
（1）求证：，．
（2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
又，，
△△．
，；
（2）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：，如下：
证明：由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
．
22．如图，在中，对角线、相交于点，．
（1）求证：．
（2）点在边上，满足，若，，求及的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
；
（2）解：，，
，
四边形是矩形，
，．
，
．
过点作于点，则，
，
，
．
23．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 30 度，线段长度的最小值为 ．
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为 米．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
又，
．
（2）解：，
，
，
．
四边形是平行四边形，
，
当最小时，也有最小值，
此时．
最小值是．
故答案为：30，．
【方法应用】解：如图过、作、的平行线，则四边形是平行四边形，
，，
，
当时，最小，
，
，
，
在△中，，
．
故答案为：．