广西来宾市2023-2024学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份广西来宾市2023-2024学年下学期八年级期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图标中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为( )
A. 6B. 7C. 4D. 5
3.如图，某校综合实践小组为测量校内人工湖的宽度AB，在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D，E，测得DE=16米，则人工湖的宽度AB为( )
A. 30米
B. 32米
C. 36米
D. 48米
4.下列说法错误的是( )
A. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 多边形的内角和等于360°
C. 直角三角形两锐角互余
D. 全等三角形对应角相等
5.下列各组数是勾股数的是( )
A. 13，14，15B. 4，5，6C. 0.3，0.4，0.5D. 9，40，41
6.如图，在▭ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠D=( )
A. 80°B. 40°C. 70°D. 140°
7.如图，a/​/b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 25°B. 65°C. 70°D. 75°
8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BC=4，S△BDC=2，则AD=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
9.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且∠A：∠B：∠C=1：2：3，则下列等式正确的是( )
A. b2=a2+c2B. 2a2=c2C. 2b2=c2D. 2a=c
10.某校在消防主题公园周边修了3条小路，如图，小路BC，AC恰好互相垂直，小路AB的中点M刚好在湖与小路的相交处.若测得BC的长为1200m，AC的长为900m，则CM的长为( )
A. 750m
B. 800m
C. 900m
D. 1000m
11.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，且AB/​/CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A. AC=BD
B. ∠ADB=∠CDB
C. ∠ABC=∠DCB
D. AD=BC
12.如图，在矩形ABCD中，边AB，DC上分别有两个动点E，F，连接EF，ED，BF，若EF/​/BC，AB=6，AD=4，则四边形BFDE的周长的最小值是( )
A. 23
B. 16
C. 22
D. 15
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.正六边形的每个内角的度数是______度．
14.若直角三角形的两条直角边长分别为 6, 3，则第三条边长x的值是______．
15.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD= ______．
16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.已知∠AOB=60°，AC=6，则BC的长为______．
17.若一个直角三角形的周长为56，斜边长为25，则该直角三角形的面积为______．
18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE=CF.求证：Rt△CDF≌Rt△BDE．
20.(本小题6分)
如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处.已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2米，则滑雪台的长度AB为多少米？
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD=CD，EA2+AC2=BD2+DE2，求证：△ABC是直角三角形．
22.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点D，E分别作DE/​/AC，CE/​/BD，连接OE．
(1)求证：四边形ODEC是菱形．
(2)若∠AOB=60°，DE=2，求BC的长．
23.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作DE/​/AC，交BC的延长线于点E.(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)在(1)的条件下，若CF=5，CD=13，求△BDE的面积．
24.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，若AC=6，DB=8，过点A作AE⊥BC于点E．
(1)菱形ABCD的面积为______．
(2)求AE的长．
(3)过点D作DF⊥BC，垂足为F，求四边形AEFD的面积．
25.(本小题10分)
小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．

(1)如图1，图案1是以Rt△ABC的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为S1，S2，S3，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：______．
(2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓(实线)的周长为80，OC=5，求该飞镖状图案的面积．
(3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S1+S2+S3=16，则S2= ______．
26.(本小题10分)
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“矩形的折叠”主题下设计的问题，请你解答．
如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕分别交AD，BC于点E，F，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′．
(1)观察发现
如图1，若点C与点A重合，则四边形AECF的形状为______．
(2)探究迁移
如图2，AB=3，AD=6，连接C′E，AE：ED=2：1，BF=1，求EFC′E的值．
(3)拓展应用
若AB=3，AD=6，点C的对应点C′落在边AD上，求线段CF的长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据中心对称的概念可得B选项是中心对称图形，A、C、D不是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了中心对称图形，熟知若把一个图形绕某点旋转180°，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，
AB= AC2+BC2
= 32+42
=5．
故选：D．
利用勾股定理计算得结论．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵D，E分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=32米；
故选：B．
直接利用三角形的中位线定理，进行求解即可．
本题考查三角形的中位线定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，正确，则A不符合题意；
多边形的内角和为(n−2)⋅180°，其中n为不小于3的整数，则B符合题意；
直角三角形两锐角互余，正确，则C不符合题意；
全等三角形对应角相等，正确，则D不符合题意；
故选：B．
根据角平分线的性质，多边形的内角和，直角三角形的性质及全等三角形的性质逐项判断即可．
本题考查角平分线的性质，多边形的内角和，直角三角形的性质及全等三角形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵132+142≠152，∴13，14，15不是勾股数，不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、∵0.3，0.4，0.5都不是整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意；
D、∵92+402=412，∴9，40，41是勾股数，符合题意；
故选：D．
根据勾股数是满足a2+b2=c2的三个正整数逐项判断即可．
本题考查勾股数，关键是掌握勾股数的定义．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB/​/CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A+∠C=80°，
∴∠A=∠C=40°，
∴∠D=180°−∠A=140°，
故选：D．
由平行四边形的性质得∠A=∠C，AB/​/CD，则∠A+∠D=180°，再求出∠A=40°，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠1=20°，
∴∠ACE=20°+45°=65°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠ACE=65°，
故选：B．
根据等腰直角三角形性质求出∠ACB，求出∠ACE的度数，根据平行线的性质得出∠2=∠ACE，代入求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质，关键是求出∠ACE的度数．
8.【答案】D
【解析】解：设点D到BC的距离为h，则S△BDC=12×BC⋅h=12×4×h=2，
解得h=1，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D，
∴AD=h=1(角平分线上的点到角的两边的距离相等)．
故选：D．
根据△BDC的面积求出点D到BC的距离，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，AD等于点D到BC的距离．
本题主要考查了角平分线的性质，求出△BDC的BC边上的高是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
∴x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，且c是斜边，
∴a2+b2=c2，c=2a，
故选项A，B，C错误，选项D正确．
故选：D．
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和定理可得△ABC是直角三角形，且c是斜边，从而得到a2+b2=c2，c=2a，即可求解．
本题主要考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握直角三角形的性质是关键．
10.【答案】A
【解析】解：小路BC，AC恰好互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 9002+12002=1500(m)，
∵点M是小路AB的中点，
∴CM=12AB=750m，
故选：A．
先根据勾股定理求出AB=1500m，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
本题考查的勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，
∵OA=OC，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵AB/​/CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=∠DCB
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、当AD=BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图，延长AD到点M，使得AD=DM，连接MF．
∵EF/​/BC，四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB/​/CD，∠A=∠ADC=90°，
∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形．
∴AE=DF，∠EAD=∠FDM=90°，
∵AD=DM，
∴△ADE≌△DMF(SAS)，
∴DE=MF，
∴BF+DE=BF+FM．
∵E，F分别是AB，DC上的动点，故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，
且BF+DE的值等于BM的值．
在Rt△BAM中，BM= AB2+AM2= 62+(2×4)2=10，
∴四边形BFDE的周长的最小值是=BM+BE+DF=BM+BE+AE=BM+AB=10+6=16，
故选：B．
延长AD到点M，使得AD=DM，连接MF，易得四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，证明△ADE≌△DMF(SAS)，得到BF+DE=BF+FM，进而得到当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，勾股定理求出BM的长，进一步求出四边形BFDE的周长的最小值即可．
本题考查矩形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
13.【答案】120
【解析】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数=(6−2)×180°÷6=120°．
利用多边形的内角和为(n−2)⋅180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式即可解决问题．
14.【答案】3
【解析】解：由勾股定理，得：x2=( 3)2+( 6)2=9，
∴x=3(负值舍去)；
故答案为：3．
根据勾股定理进行求解即可．
本题考查勾股定理，实数的运算，熟练掌握勾股定理是关键．
15.【答案】10
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO= 32+42=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
16.【答案】3 3
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=12AC=3．
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形．
∴AB=3．
在Rt△ABC中，BC= 62−32=3 3．
故答案为：3 3．
由矩形的性质可得到OA=OB，于是可证明△ABO为等边三角形，于是可求得AB=4，然后依据勾股定理可求得BC的长．
本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的应用，求得AB的长是解题的关键．
17.【答案】84
【解析】解：设两条直角边为a，b，
由题意，得：a+b=56−25=31，a2+b2=252=625，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=625+2ab=312，
∴ab=168，
∴该直角三角形的面积为12ab=84；
故答案为：84．
根据题意，得到a+b=56−25，a2+b2=252，利用完全平方公式，求出ab的值即可得出结果．
本题考查勾股定理，完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】245
【解析】解：连接AP，
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC= AB2+AC2=10，
∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC=90°，
∴四边形ANPM为矩形，
∴MN=AP，
∴当AP最小时，MN最小，
∴当AP⊥BC时，AP最小，即MN最小，
此时S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AP，即：6×8=10AP，
∴AP=245；
∴MN的最小值为245；
故答案为：245．
连接AP，证明四边形ANPM为矩形，得到MN=AP，根据垂线段最短，得到AP⊥BC时，AP最小，即MN最小，等积法求出AP的长即可．
本题考查矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟记矩形的判定和性质是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠CFD=∠BED=90°，
∵BE=CF，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)
【解析】先根据直角三角形的性质得出CD=BD，再由全等三角形的判定定理即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定定理--HL，熟记定理内容是解题关键．
20.【答案】解：设AB的长为x米．则BC的长为(x−2)米．
∵AC=14米，△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴142+(x−2)2=x2，解得x=50．
答：滑雪台的长度AB为50米．
【解析】设AB的长为x米，则BC的长为(x−2)米，利用勾股定理进行求解即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
21.【答案】证明：如图，连接CE．
∵BD=CD，DE⊥BC，
∴CE=BE．
∵DE⊥BC，
∴BD2+DE2=BE2=CE2．
∵EA2+AC2=BD2+DE2，
∴EA2+AC2=CE2，
∴△ACE是直角三角形，∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】由线段垂直平分线的性质得CE=BE，再证明BD2+DE2=BE2=CE2，进而证明EA2+AC2=CE2，然后由勾股定理的逆定理即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵DE/​/AC，CE/​/BD，
∴DE/​/OC，CE/​/OD，
∴四边形ODEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC=OA=OB，
∴四边形ODEC是菱形．
(2)解：∵DE=2，且四边形ODEC是菱形，
∴OD=OC=DE=OA=2，
∴AC=4．
∵∠AOB=60°，AO=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=2．
在Rt△ABC中，AC=4，AB=2，
∴BC= AC2−AB2=2 3．
【解析】(1)先证明四边形ODEC是平行四边形，根据矩形的性质和一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可；
(2)菱形的性质，求出AC的长，证明△AOB是等边三角形，求出AB的值，再利用勾股定理尽心求解即可．
本题考查矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
23.【答案】解：(1)作图如图所示．

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CFD=∠BFC=90°，
∴BF=DF= CD2−CF2= 132−52=12，
∴AC=2CF=2×5=10，BD=2DF=2×12=24．
∵DE/​/AC，DA//CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=10．
∵∠BDE=∠BFC=90°，
∴S△BDE=12BD⋅DE=12×24×10=120．
【解析】(1)根据尺规作图作一个∠CDE=∠BAC即可；
(2)先证明四边形ABCD是菱形，勾股定理求出DF的长，进而求出BD，AC的长，证明四边形ACED为平行四边形，得到DE=AC，再用面积公式进行求解即可．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
24.【答案】24
【解析】解：(1)∵菱形ABCD，AC=6，DB=8，
∴菱形ABCD的面积为12AC⋅BD=12×6×8=24；
故答案为：24；
(2)∵菱形ABCD，AC=6，DB=8，
∴AC⊥BD,OB=12BD=4,OC=12AC=3，
∴BC= 32+42=5，
∵AE⊥BC，
∴菱形ABCD的面积=BC⋅AE=24，
∴AE=245；
(3)∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE/​/DF，
∵AD/​/BC，
∴四边形AEFD为矩形，
∴四边形AEFD的面积=AD⋅AE=BC⋅AE=24．
(1)利用面积公式进行求解即可；
(2)等积法求出AE的长即可；
(3)根据题意，画出图形，得到四边形AEFD为矩形，利用矩形的面积公式进行求解即可．
本题考查菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
25.【答案】S1+S2=S3 163
【解析】解：(1)由题意，得：a2+b2=c2，S1=12π⋅(a2)2=18a2π,S2=12π⋅(b2)2=18b2π,S3=12π⋅(c2)2=18c2π，
∴S1+S2=18a2π+18b2π=18c2π=S3；
(2)设：OA=a，AB=c，由题意，得：OB=OC=5，
∴4c+4(a−5)=80，a2+52=c2，
∴c=25−a，
∴a2+52=(25−a)2，
解得：a=12，
∴飞镖状图案的面积为4×12×12×5=120；
(3)设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：c2=a2+b2，
由题意，得：S1=(a+b)2,S2=c2,S3=(a−b)2，
∴S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a−b)2
=a2+2ab+b2+c2+a2−2ab+b2
=c2+c2+c2
=3c2=16，
∴c2=163，
∴S2=c2=163．
故答案为：163．
(1)利用圆的面积公式，结合勾股定理进行求解即可；
(2)根据周长公式和勾股定理求出OA的长，分割法求出面积即可；
(3)利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可．
本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题，掌握勾股定理是关键．
26.【答案】菱形
【解析】解：(1)由翻折可得：AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE，
又∵ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF=CF=CE，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：菱形；
(2)∵AE：ED=2：1，AD=6，
∴AE=4，DE=2，
由折叠可得D′E=DE=2，D′C′=DC=AB=3，
∴C′E= C′D′2+D′E2= 32+22= 13，
如图1，过点E作EG⊥BC于点G，则ABGE和C′FGD′是矩形，
∴C′D′=FG=3，EG=AB=3，
∴EF= FG2+EG2= 32+32=3 2，
∴EFC′E=3 2 13=3 2613；
(3)如图2，当点C′沿DF折叠落在AD上时，
则∠FC′D=∠FCD=90°=∠C′DC，
∴∠FC′D+∠C′DC=180°，
∴C′F//CD，
又∵C′D//FC，C′D=CD，
∴C′DCF是正方形，
∴CF=CD=3，
当点C落到点A时，如图2，
设CF=FA=x，则BF=6−x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=FA2，即32+(6−x)2=x2，
解得：x=,154，
∵点C的对应点C′落在边AD上，
∴线段CF的长的取值范围为3≤CF≤154．
(1)根据折叠的性质得到AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE，然后根据平行线的性质得到∠AEF=∠EFC，进而得到∠AFE=∠AEF，可以得到AE=AF=CF=CE，即可得到结论；
(2)由矩形的性质，利用勾股定理求出EF和C′E的长，然后求比值即可；
(3)借助图形得到点C′落在边AD上的情况，利用勾股定理求出CF长即可解题．
本题考查矩形与折叠，菱形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题的关键．