广西壮族自治区来宾市兴宾区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区来宾市兴宾区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.）
1．下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列每组数分别表示三根木棒的长度，能摆成三角形的一组是（ ）
A．2、3、6B．2、3、5C．2、4、7D．3、4、5
3．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
4．分式与的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
5．若式子的值为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．计算：的结果为（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角B．垂线段最短
C．三角形的外角和等于D．三角形的外角大于它的内角
8．如图，已知，下列条件中，不能作为判定的条件是（ ）
A．B．C．D．
9．下列等式中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ）

A．12B．8C．15D．13
11．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，是的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
14．计算： ．
15．如图，上午9时，一艘船从A处出发，以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B两点观望灯塔C，测得，则从B处到灯塔C的距离为 海里．
16．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．写成“如果⋯，那么⋯”的形式为
17．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝18°，则∠B为 ．
18．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．

（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
22．观察下面的计算：
①，，即为；
②，，即为；
③，，即为；
④，，即为；
(1)根据上面的计算，请你写出第9个的等式即为 ；
(2)根据上面的计算，请你猜想第n个的等式即为 ；
(3)请你证明你的猜想．
23．如图，已知△ABC．
(1)求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．
24．某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每天制作冰墩墩的件数是原计划每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务．
(1)求原计划每天制作多少件冰墩墩？
(2)该公司原计划每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原计划增长了，完成任务后，该公司实际支付的工资与原计划相比多还是少？多或者少的具体数额是多少？
25．如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，．

(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积；
(3)猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
26．综合与实践——探索图形平移中的数学问题：
问题情境：如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．
操作探究：将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点、、；
（1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离．
（2）如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论．
拓展延伸：
（3）在平移的过程中，直接写出以、、为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是 ．

参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查了分式的定义，根据分母中含有字母的是分式，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、是单项式，属于整式，故选项不符合题意；
B、是多项式，属于整式，故选项不符合题意；
C、是分式，故选项符合题意；
D、是多项式，属于整式，故选项不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行判断即可．
【详解】解：A、，不能构成三角形，不合题意；
B、，不能够组成三角形，不合题意；
C、，不能构成三角形，不合题意；
D、，能构成三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，注意用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
3．A
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，据此求解即可．
【详解】解：．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．根据最简公分母的定义解答即可．
【详解】解：分式与的最简公分母是．
故选：C
5．A
【分析】分式的值为0，即分子为0且分母不为0．
【详解】解：∵式子的值为，
∴，即，
∵分式的分母不能为0，
∴，故．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质．
6．A
【分析】此题主要考查负整指数幂和积的乘方，直接根据运算法则即可求解.
【详解】解：
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了命题的判断，熟记“真命题是可以被判断为真的陈述句，假命题是可以被判断为假的陈述句”是解题关键．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A是假命题，不符合题意；
B、垂线段最短是真命题，故B符合题意；
C、三角形的外角和等于，故C是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角大于与它不相邻的内角，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟记四种“，，，”判定是解题关键．
【详解】解：A、添加，不能判定，故此选项符合题意；
B、添加，根据能判定，故此选项不符合题意；
C、添加时，可利用判定，故此选项不符合题意；
D、添加，根据判定，故此选项不符合题意；
故选：A．
9．A
【分析】根据零指数幂、负指数幂及分式的基本性质即可判断求解，解题的关键是熟知这个公式的运用．
【详解】解：，故错误，A选项符合题意；
，正确，B选项不符合题意；
，正确，C选项不符合题意；
，正确，D选项不符合题意；
故选：A．
10．C
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出周长，再根据等腰三角形两腰相等可得，代入数据计算即可得解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
周长，
腰长，
，
周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两腰相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．C
【分析】根据每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书得到每个B型包装箱可以装书（x+15）本，再利用数量=总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程．
【详解】∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，依题意得：
故选：C．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
12．C
【分析】如图，首先证明（设为λ），（设为μ）；进而证明，，得到，进而得到，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题
【详解】解：∵是的中线，
∴；
∴（设为λ），
（设为μ），
，
∴；
同理可证：，
即，；
∴选项（1）、（2）、（3）均成立，
选项（4）不成立，
故选：C．
【点睛】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．
13．
【分析】本题考查了分式有意义，分式有意义：分母不等于0，即可作答．
【详解】解：要使分式有意义，
则，
解得．
故答案为：．
14．##
【分析】本题考查单项式除单项式，根据单项式除以单项式法则“把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式”计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15．60
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等角对等边，先根据三角形外角的性质求出，得到，再根据路程速度时间求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵上午9时，一艘船从A处出发，以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，
∴海里．
故答案为：60．
16．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数
【分析】根据命题的构成，找出条件和结论，解答即可
【详解】命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．写成“如果⋯，那么⋯”的形式为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数
【点睛】本题主要考查了命题与定理，根据学过的性质准确找出命题的条件和结论是正确改写的关键．
17．36°
【分析】先判断出∠AEC＝90°，进而求出∠ADC＝∠C＝74°，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AD＝AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝72°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝72°，
∵AD＝BD，
∴2∠B＝∠ADC＝72°，
∴∠B＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
18．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先作“倍长中线法”，得证，然后通过角的等量代换，以及等角对等边得，即，同理，所以，故．即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：如图，延长至G，使，连接，

在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
19．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程；
（1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后再解整式方程即可；
（2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后再解整式方程即可；
解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．
【详解】（1）解：，
方程两边同时乘以，得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解是；
（2）解：
方程两边同时乘以，得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
20．，当时，
【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．先算除法，再通分算加减，化简后将有意义的的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
，
或，
当时，原式无意义，
当时，
原式
．
21．（1）证明见解析；（2）69°．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
（2）由（1）可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．
【详解】（1）∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∵∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∵，∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，∵EC=ED，∠1=42°，∴∠C=∠EDC=（180°-42°）÷2=69°，∴∠BDE=∠C=69°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
22．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
（1）由已知算式的规律直接把乘改为加即可；
（2）利用以上规律得出答案即可；
（3）利用分式的运算方法得出答案即可．
【详解】（1）第9个的等式即为，
故答案为：；
（2）第n个的等式即为，
故答案为：；
（3）左边
右边，
∴左边=右边，
∴．
23．(1)见解析
(2)∠DAE=15°．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据∠DAE=∠CAE-∠CAD，计算即可．
【详解】（1）解：如图，线段AD，线段AE即为所求．
（2）解：∵∠CAB=180°-∠B-∠C=80°，AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠CAB=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=25°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=15°．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，三角形的高，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
24．(1)500件
(2)少支付工资6000元
【分析】（1）设原计划每天制作x件冰墩墩，则实际每天制作1.5x件冰墩墩，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设原计划每天制作x件冰墩墩，则实际每天制作1.5x件冰墩墩，
根据题意，得：，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天制作500件冰墩墩．
（2）原计划支付工资总额：（元），
实际支付工资总额：（元），
，
∴实际支付工资的数额比原计划少了，
（元），
答：该公司实际比原计划少支付工资6000元．
【点睛】题目主要考查分式方程及有理数混合运算的应用，理解题意，列出方程及算式是解题关键．
25．(1)证明见解析
(2)48
(3)猜想，证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的确定全等三角形是解本题的关键．
（1）连接，直接利用证明，可得，再证明，即可得到结论；
（2）由， 可得，从而可得四边形的面积；
（3）先证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）由（1）得，，
∵，，
，
∴；
（3）猜想，
证明：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
26．（1）；（2）见解析；（3）6或12
【分析】（1）连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，，根据平移可得，即可得，故平移的距离为；
（2）证明，即可得；
（3）分两种情况：当与重合时，可得，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形，此时，即平移的距离是6；当时，可得，故平移的距离是12．
【详解】解：连接，如图

是等边三角形，，点是边的中点，
，，
将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点；；；
；
，，
，
平移的距离为；
（2）证明：如图

是等边三角形，，
，，
将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，；
，；
是等边三角形，，点是边的中点，
，，
，，
，
，
；
（3）当与重合时，如图

是等边三角形，
，
，
，
，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形，
此时，
平移的距离是6；
当时，如图

，
，
，
，
，
由（2）知，
，
，
平移的距离是12；
综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是6或12．
故答案为：6或12．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换，分类讨论．