广东湛江第二十中学2024~2025学年高二下册第二次阶段性考试（5月）数学试卷[附解析]

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（试卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列，则该数列的第n项为（ ）
A. B. C. D.
2. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
4. 数列中，，.若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则数列是无界的
B. 若，则数列是有界的
C. 若，则数列是有界的
D. 若，则数列是有界的
7. 已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
8. 记，，则（ ）
A. B. C. 0D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设等差数列的公差为，前项和. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是递增数列B.
C. D. 中最大的是
10. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在处有极小值B. 函数在处有极小值
C. 函数在区间内有个极值点D. 导函数在处有极大值
11. 若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 被16除的余数是15
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为数列的前项和，若，则______.
13. 的展开式中常数项为________．（用数字作答）
14. 若函数导数存在导数，记的导数为.如对任意，都有成立，则有如下性质：.其中，，，…，.若，则___________；根据上述性质推断：当且时，的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.
（1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率：
（2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
16. 设数列的前项和为，已知，且为等差数列.
（1）求数列通项公式；
（2）若，求前项和.
17. 如图，正四棱柱中，，点在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角大小的正切值.
18. 已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若在上有解，求取值范围；
（3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
19. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；
②.
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某21阶“期待数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为，试证：.