广东省湛江市第二十一中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省湛江市第二十一中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．在中，，则（ ）
A．5B．3或5C．4D．2或4
4．已知等差数列满足：公差，，，则（ ）
A．17B．18C．19D．20
5．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知点，，若以为圆心，5为半径的圆与线段的垂直平分线相切，则（ ）
A．B．或C．D．或
8．已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．23B．12C．20D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．当时，的图象与轴有2个交点
11．记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（ ）
A．B．可能为常数列
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的定义域是 .
13．已知夹角为的非零向量满足，，则 .
14．若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设数列的前n项和为
(1)若数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，求的通项公式及；
(2)若.求数列的通项公式；
16．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
17．拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点．
(1)当时，求；
(2)若的面积为，求的值．
18．数列满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
19．设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，故，
故选D.
2．【答案】A
【详解】因为，所以，即．
故选A．
【思路导引】利用分母有理化对进行化简，从而得到共轭复数，代入到计算出结果.
3．【答案】B
【详解】由余弦定理，得，
即，即，
解得或5，
经检验，均满足题意.
故选B.
4．【答案】C
【详解】，即，解得，
即，故.
故选C.
5．【答案】C
【详解】易知双曲线的焦点为，
则由题意可知：，即的值为6.
故选C.
6．【答案】A
【详解】因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，所以，
所以．
故选A.
7．【答案】B
【详解】线段中点，斜率：，
则垂直平分线，整理得，
相切即圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式有，，
即，解得或．
故选B．
8．【答案】D
【详解】由题意可知：，
当时，；
当时，，
两式相减可得：，整理得：，
所以，或，
当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大，
此时，解得，此时；
当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大，
此时，解得，此时；
综上所述：的最大值为.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选ABC．
10．【答案】AD
【详解】由图可知：,故，
,故，由于，则，
故，故A正确，B错误，
为偶函数，故C错误，
令，则，故，
当时，此时或故D正确，
故选：AD.
【方法总结】根据图象求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式:
(1)A=ymax-ymin2:振幅A可以利用图象最高点与最低点纵坐标的差来求;
(2)B=ymax+ymin2:B可以利用图象最高点与最低点纵坐标的和(或对称中心的纵坐标)来求;
(3)ω=2πT:角频率ω可以利用周期T来求,周期T的求法(观察图象):①相邻对称轴(最值)之间相距T2;②相邻对称中心之间相距T2;③相邻对称轴与对称中心之间相距T4;④相邻最高(低)点之间相距T;
(4)φ:初相φ可以通过特殊值(最大值,最小值,零点等)来求.
11．【答案】ABC
【详解】因为是正项数列，所以，，所以，故A正确；
若，满足，故B正确；
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
，
即，故D错误．
故选ABC．
12．【答案】
【详解】函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域是.
13．【答案】2
【详解】因为的夹角为，且，
而，则，
所以，
则，解得：.
14．【答案】1215
【详解】数列中从到的项数为：
，令，得，且，
所以数列的前480项中后面还有15项，
则数列的前480项中2的个数为．
由，得，
故数列的前30项和是数列的前10项和，且和为，
所以数列的前480项和为．
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设数列是公比为，
因为是与的等差中项，
则，即，
又因为，则，解得，
所以，.
（2）因为，
当时，，则.
当时，，
两式相减得，即，
可知是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）取的中点，连接，如图．
是的中点，，且．
，且，
四边形为平行四边形，
,
又平面，平面，
平面．
（2）如图，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，
则取，则．
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）拋物线的焦点，
则直线的方程为．
设，
由，得，
则，所以，
所以，
当时，．
（2）因为，
点到直线的距离，
所以，
化简得，解得，即．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）∵，
∴，即，
∴数列是等比数列.
（2）由（1）得数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
∴当时，
，
当时，，满足上式，
∴.
（3）由（2）得，.
设 ①，
则2 ②
①②得：，
∴，
∴.
19．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.
【详解】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得
（II）（i）由（I），有，则.
（ii）因为，裂项求和可得.
详解：（I）设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以.
点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.