广东云浮2023~2024学年高一下册期末教学质量检测数学试卷[附解析]

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第二册.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. -6 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，解得 .
故选：D
2. 欧几里得大约生活在公元前 330 年至公元前 275 年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等
著作．若从这 4 部著作中任意抽取 2 部，则抽到《光学》的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法求解即可.
【详解】记 4 部书籍分别为 ，
则从从 4 部书籍中任意抽取 2 部的基本事件为 共有 6 个，
抽到《光学》的基本事件为 共有 3 个.
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所以抽到《光学》的概率为： .
故选：B
3. 设 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法法则得到 ，利用模长公式求出答案.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A
4. 已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班 8 名同学的物理成绩分别为 ，
则该组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A. 86，84 B. ， C. ， D. 85，84
【答案】C
【解析】
【分析】将数据排序，求出平均值和中位数即可.
【详解】将样本数据按升序排列为 ，
可得平均数 ，
因为有 8 个数据，所以中位数为 ，
故选:C.
5. 在 中， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可.
【详解】 .
故选：D
6. 在长方体 中， 与平面 所成的角为 与 所成的角为 ，则（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助线面角定义与等角定理可得 与 相等， 与 相等，结合线面垂直的性质定理
计算即可得.
【详解】连接 ，由长方体的性质可得 平面 ，
故 与平面 所成的角为 与 相等，
又 平面 ，故 平面 ，即 ，
又 ，故 与 所成的角与 与 所成角相等，
即 与 相等，又 ，
故 .
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故选：C.
7. 已知矩形 的对角线长为 1，将 沿 折起得到三棱锥 ，且三棱锥 的
各个顶点均在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等，再根据矩形的性质，可知球心在
矩形对角线中点，所以半径为 ，由表面积 求解即可.
【详解】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等.
记矩形中心为 ，由矩形的性质知点 在翻折过程中到四个顶点的距离相等，
即其为外接球球心，对角线的一半即为外接球半径，则 .
故选：B.
8. 有以下 6 个函数：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ .记事件 为“从中任取的 1 个函数是奇函数”，事件 为“从中任取的 1
个函数是偶函数”，事件 的对立事件分别为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断各函数的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判断即可.
【详解】由题可知，对于①： ，则 ，解得 ，
所以 ，故为偶函数且为奇函数；
对于② 为奇函数；对于③ 为奇函数；对于④ 为偶函数；
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对于⑤： 定义域为 ，为非奇非偶函数；
对于⑥ 为非奇非偶函数；
则事件 为：①，②，③；事件 为：④，⑤，⑥；
事件 为：①，④；事件 为：②，③，⑤，⑥；
事件 为：①，②，③，④； 为：⑤，⑥；
所以 ， ， ， ，
， ，
所以 ， ，故 A、C 错误；
又 为：①；所以 为：②，③，④，⑤，⑥，所以 ，
则 ，故 B 错误；
因为 ，所以 ，D 正确.
故选：D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则（ ）
A B.
C. D. 外接圆的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A，运用余弦定理求解即可；对于 B,C,D 借助正弦定理求解即可.
详解】对于 A，由 ，得 ，解得 或
（舍去），故 A 正确.
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对于 B、C，因为 ，所以 ，解得 ，故
B 错误，C 正确.
对于 D，设 外接圆的半径为 ，因为 ，所以 外接圆的面积为
，故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知平面向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 一定可以作为一个基底
B. 一定有最小值
C. 一定存在一个实数 ，使得
D. 若 ，则 在 上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 A，借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对 B，借助模长定义计算即可得；对 C，根据
数量积的运算律得到 ，计算即可得；对 D，由投影向量的定义求解即可得.
【详解】对于 A，当 时， ，不能作为平面向量的一个基底，A 错误；
对于 B，由 ，得 ，所以 有最小值 ，B 正确；
对于 C，由 ，两边同时平方得 ，解得 ，C 正确；
对于 D，当 时， ，则 ，D 正确
故选：BCD.
11. 在 中， 平面 ，边 在平面 上的射影长分别为 8，12
，则边 在 上的射影长可能为（ ）
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A. B. C. 15 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据射影概念，分情况讨论当 在 的同侧，异侧，进行求解即可.
【详解】因为 ，且边 在平面 上的射影长分别为 8，12，所以点 到 的距
离分别为 6，9.
当 在 的同一侧时， 在 上的射影长为 ；
当 在 的两侧时， 在 上的射影长为 .
故选：AD．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知方程 的一个根为 ，则 __________.
【答案】3
【解析】
【分析】方法一：根据题意得到方程的另一个根为 ，由韦达定理得到答案；
方法二：将 代入方程，求出答案.
【详解】方法一：因为 的一个根为 ，则方程的另一个根为 ，
结合韦达定理可得 .
方法二：将 代入方程得 ，解得 .
故答案为：3
13. 已知正方体 的棱长为 1，点 到平面 的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等积法即可求解.
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【详解】
设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，解得 .
故答案为：
14. 如图，在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， 的平分
线 交边 于点 边上的高为 边上的高为 ，
，则 __________； __________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意结合角度关系分析可知： ， ，即可得结果；根据题意利用正
项定理可得 ， ，根据图形分别求 ，即可得结果.
【详解】在 中，可知 ，
因为 ，且 为 的平分线，可知 ，
则 ，
在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
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所以 ；
因为 ，
，
在 中，由正弦定理 可得 ，
则 ，解得 ，
由正弦定理 可得 ，
且 为 的平分线，则 ，可得 ，
在 中，由正弦定理 可得 ，
在 中，可知 ，则 ，
在 中，可知 ，
在 中，可知 ，
所以 .
故答案为： ； .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 .
（1）若 是纯虚数，求 ；
（2）在复平面内， 对应的点位于第三象限，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
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【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出 ；
（2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案.
【小问 1 详解】
因为 是纯虚数，所以 ，
由 ，解得 或 ，
由 得， 且 ，故 .
【小问 2 详解】
因为 对应的点位于第三象限，所以 ，
所以 解得 的取值范围是 .
16. 为了全面提高学生的素质，促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践
活动，并从该校高一､高二､高三年级共 2000 名学生中随机抽取 100 名，对他们某周参加活动的时长（单位：
分钟）进行了统计，并将时长按 进行分组，得到
如图所示的频率分布直方图.
（1）求 ；
（2）估计该校学生每周参加社会实践活动的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若该校高一､高二､高三年级学生人数比为 ，估计该校高三学生中每周参加社会实践活动的时长
不少于 30 分钟的人数.
【答案】（1） ；
（2）37； （3）396.
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【解析】
【分析】（1）由所有分组的频率之和为 1，求 的值；
（2）利用频率分布直方图由公式计算平均值；
（3）利用频率计算频数.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 .
【小问 2 详解】
估计该校学生每周参加社会实践活动的平均时长为
（分钟）
【小问 3 详解】
由题意知，该校高三年级人数为 ，
所 以 估 计 该 校 高 三 学 生 巾 参 加 社 会 实 践 活 动 的 时 长 不 少 于 30 分 钟 的 人 数 为
.
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 为
的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据条件证出 ， ，利用线面垂直的判定定理即可得证；
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（2）先证明 就是直线 与平面 所成的角，再解三角形即可．
【小问 1 详解】
证明：因为 平面 平面 ，
所以 ．
连接 ，
由 ，且 ，知四边形 为平行四边形．
又 ，所以平行四边形 为正方形，
则 ．
又 ，所以 ．
又 平面 ，
所以 平面 ．
【小问 2 详解】
解：取 的中点 ，连接 ．
因为 分别为 的中点，所以 ．
由（1）知 平面 ，所以 平面 ，
则 就是直线 与平面 所成的角．
设 ，则 ，
所以 ．
在直角 中， ，
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所以
所以 ．
18. 2024 年 5 月底，各省教育厅陆续召开了 2024 年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，
小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明
成功解出这道题的概率是 ，小明，小红两名同学都解答错误的概率是 ，小王、小红两名同学都成功解
出的概率是 ，这三名同学解答是否正确相互独立.
（1）分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率；
（2）求三人中至少有两人成功解出这道题的概率．
【答案】（1）小王、小红解出概率分别为 ，
（2）
【解析】
【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得；
（2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得.
【小问 1 详解】
设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件 A，B，C，
根据题意，则有 ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，则 ．
即小王、小红成功解出这道题的概率分别为 ， ；
【小问 2 详解】
设三人中至少有两人成功解出这道题为事件 D，
则有
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，
所以三人中至少有两人成功解出这道题的概率为 ．
19. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）若 ，求角 ；
（2）若 为锐角三角形，设 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）解法一：根据 可得 利用正弦定理结合三角恒等变换可得
，进而分析求解；解法二：由内角和定理结合正弦定理得出 ，
再由三角恒等变换得出 ；
（ 2） 由 正 弦 定 理 得 ， 结 合 余 弦 定 理 得 出 ， 再 由 锐 角 三 角 形 的 定 义 得 出
，进而得出 的取值范围.
【小问 1 详解】
解法一：由 可得 ，代入 ，
得 ，即 ，
则 .
由正弦定理得 ，
即 ，
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即 ，可得 .
因为 ，则 ，
可知 ，解得 .
解法二：因为 ，所以 .
又因 ，则 .
即 ，
由正弦定理得
且
，
即有 .解得 .
由 ，可得 .
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，
由正弦定理得 ，①
由余弦定理得 .
对①式进行变形可得 ，
所以 .
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因为 为锐角三角形，所以 即
解得 ，从而 ，
又 ，所以 ，即 的取值范围为 .
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