广东省云浮市2024_2025学年高一下册7月期末教学质量检测数学试卷【附解析】

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ）
A.B.C.1D.-1
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法法则计算求得，可求得的虚部.
【详解】因为，所以，则的虚部为1.
故选：C.
2.（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得.
故选：A.
3.如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测直观图求出,的长，求出的面积．
【详解】由斜二测直观图可知，且，
则的面积.
故选：D.
4.设的内角的对边分别为，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合余弦定理，进行化简，即可求解.
【详解】由余弦定理，可得.
故选：B.
5.若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得该圆锥底面半径、母线长，则可得高，再利用体积公式计算即可得.
【详解】由题意可得该圆锥底面半径为，母线长为，
则高为，则.
故选：A.
6.直线，互相平行的一个充分条件是
A.，都平行于同一个平面B.，与同一个平面所成的角相等
C.平行于所在的平面D.，都垂直于同一个平面
【答案】D
【解析】
【详解】由题意下列哪个选项可以推出直线，互相平行即可，选项A中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C中与不仅可以平行还可能异面直线；故选D
7.如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（ ）
A.B.C.，D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，求得则，再在中，求得，利用正弦定理求得，在中，结合余弦定理，即可求解.
【详解】在中，由，
则.
在中，可得，
由正弦定理，可得，解得，
在中，
由余弦定理，
可得，解得，
所以两个目标点间的距离为.
故选：C
8.掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（ ）
A.事件与事件互为对立事件
B.事件与事件相互独立
C.事件与事件不相互独立
D.事件与事件互斥
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可.
【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则，6}}.
对于，
而，
显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误；
对于B，易得，故，
因为，所以，
而，则，则，
即事件与事件不相互独立，故B错误；
对于C，，而，则，
因为，所以，而
，
所以事件A与事件不相互独立，故C正确；
对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.与的夹角为钝角D.在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助向量数量积的坐标形式、模长公式及投影向量定义计算即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：ABD.
10.在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中4名同学化学成绩的原始分（记为组）与赋分（记为组）数据如下.
下列结论正确的是（ ）
A.组数据的极差小于组数据的极差
B.组数据的平均数小于组数据的平均数
C.组数据的方差小于组数据的方差
D.组数据的中位数小于组数据的分位数
【答案】BD
【解析】
【分析】利用极差的定义，平均数的意义，方差的概念，以及中位数的定义和百分位数的意义计算可判断每个选项的正误.
【详解】对于A，组数据的极差为，组数据的极差为，
所以组数据的极差41大于组数据的极差30，故A错误.
对于B，组数据的平均数为，
组数据的平均数为，故B正确.
因为组数据的方差
组数据的方差，
所以组数据的方差大于组数据的方差，故C错误.
组数据的中位数为，
因为组数据从小到大排列后的第2个数为87，
所以组数据的分位数为87，大于组中位数，故D正确.
故选：BD.
11.已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（ ）
A.正四面体外接球的表面积为
B.正四面体内切球的体积为
C.的最大值为
D.的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】把正四面体放入正方体中，通过求得正方体的外接球的半径判断A；利用等体积法求得内切球的半径判断B；设正四面体的外接球球心为，利用向量的数量积运算可得，进而可求范围.
【详解】正四面体的每条棱长均为，把这个正四面体放在一个棱长为2的正方体内，
如图所示，则其外接球直径为正方体的体对角线，由正四面体的每条棱长均为，
可得正方体的棱长为，利用勾股定理可得正方体的体对角线为，
从而可得外接球的半径，外接球的表面积为，故A正确.
由题意可得，
设正四面体的内切球半径为，所以，
解得，其体积，故B正确.
设正四面体的外接球球心为，则，
.因为点在正四面体的表面上运动，所以，
则的取值范围为，所以C错误，D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，因为，可得，解得.
故答案为：.
13.在一次招聘面试中，小明要依次回答甲､乙､丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】将小明答对甲､乙､丙三个问题分别记为事件，得到，，结合独立事件的乘法和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】将小明答对甲､乙､丙三个问题分别记为事件，
则，，
小明能够连续答对至少2个问题的概率为
.
故答案为：
14.的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作，得到，在中，利用余弦定理和基本不等式，求得，即可求解.
【详解】如图所示，作，垂足分别，
则，
在中，由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立，所以，即.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.如图，在平行四边形中，，设.
（1）用表示；
（2）证明：三点共线.
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
分析】（1）根据题意，结合和，即可求解；
（2）根据题意，求得，，得到，即可得证.
【小问1详解】
解：由题意知，向量可得，
又由，可得，
所以.
【小问2详解】
证明：因为，可得，
所以，
且，可得，所以三点共线.
16.2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；
（3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）借助频率之和为计算即可得；
（2）借助平均数计算即可得；
（3）借助分层抽样的性质可得这6名员工中成绩在与的人数，再借助列举法计算即可得解.
【小问1详解】
，解得；
【小问2详解】
，
故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为；
【小问3详解】
，，
则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、，
这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、，
则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、
、、、、、、、、、、，共种，
其中这2名员工的成绩都在内情况有：
、、、、、，共种；
故这2名员工参赛成绩都在内的概率为.
17.设的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若为的平分线且与交于点，求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由化简得，整理化简得，即可求解；
（2）因为为的平分线且与交于点，可得，则得，再结合基本不等式得，即可求解.
【小问1详解】
由，得，
即，则.
又，所以，
由，得.
【小问2详解】
因为为的平分线且与交于点，
所以，整理得.
由，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最小值为.
18.如图，在直三棱柱中，为AB的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】连接连接交于点，连接，得到，然后根据线面垂直的判定定理可得；
（2）利用，，结合面面垂直的判定定理可得；
（3）建立空间直角坐标系，分别计算平面的一个法向量为，，然后根据向量夹角公式计算即可.
【小问1详解】
如图，连接交于点，连接
在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以为的中点，又为AB的中点，所以，又平面，
平面，所以平面
【小问2详解】
在直三棱柱中，，为AB的中点，
所以，又平面，平面，所以，
平面，所以平面，又平面，
所以平面
【小问3详解】
以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴，
如图所示，设
又，所以，
所以，
则，
设平面的一个法向量为
则，令，所以，所以
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
19.在 中，角对应的边分别为，已知向量，且.
（1）求.
（2）著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：.
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由，结合正弦定理，求得，再由余弦定理，即可求解；
（2）①设，得到，即，即可得证；
②由，结合的面积公式，得到，根据三维分式型柯西不等式，得到，再由余弦定理，得到，得到，令，得到，结合，令，得到，结合函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，
因为，可得，
由正弦定理得，即，
所以，由，得.
【小问2详解】
①证明：设，由，得，
即，两边平方得；
②，
又由，
所以，
根据三维分式型柯西不等式，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由余弦定理，得，
所以，即，
则，
令，则.
由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，则，令，
令，其图象对称轴方程为，则在上单调递减，
当，即，即时，，
所以.
学号
1
2
3
4
原始分组
94
85
76
53
赋分组
100
95
87
70