[数学][期末]广东省云浮市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测试题(解析版)

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. -6D. 6
【答案】D
【解析】因为，所以，解得.
故选：D.
2. 欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作．若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记4部书籍分别为，
则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为共有6个，
抽到《光学》的基本事件为共有3个，
所以抽到《光学》的概率为：.
故选：B.
3. 设，则（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
4. 已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为，则该组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A. 86，84B. ，C. ，D. 85，84
【答案】C
【解析】将样本数据按升序排列为，
可得平均数，
因为有8个数据，所以中位数为.
故选：C.
5. 在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
6. 在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】连接，由长方体的性质可得平面，
故与平面所成的角为与相等，
又平面，故平面，即，
又，故与所成的角与与所成角相等，
即与相等，又，
故.
故选：C.
7. 已知矩形的对角线长为1，将沿折起得到三棱锥，且三棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等.
记矩形中心为，由矩形的性质知点在翻折过程中到四个顶点的距离相等，
即其为外接球球心，对角线的一半即为外接球半径，则.
故选：B.
8. 有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件为“从中任取的1个函数是奇函数”，事件为“从中任取的1个函数是偶函数”，事件的对立事件分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，对于①：，则，解得，
所以，故为偶函数且为奇函数；
对于②为奇函数；对于③为奇函数；对于④为偶函数；
对于⑤：定义域为，为非奇非偶函数；
对于⑥为非奇非偶函数；
则事件为：①，②，③；事件为：④，⑤，⑥；
事件为：①，④；事件为：②，③，⑤，⑥；
事件为：①，②，③，④；为：⑤，⑥；
所以，，，，
，，
所以，，故A、C错误；
又为：①；所以为：②，③，④，⑤，⑥，所以，
则，故B错误；
因为，所以，D正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. D. 外接圆的面积为
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，
解得或（舍去），故A正确；
对于B、C，因为，所以，
解得，故B错误，C正确；
对于D，设外接圆的半径为，因为，所以，
外接圆的面积为，故D错误.
故选：AC.
10. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 一定可以作为一个基底
B. 一定有最小值
C. 一定存在一个实数，使得
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，不能作为平面向量的一个基底，A错误；
对于B，由，得，所以有最小值，B正确；
对于C，由，两边同时平方得，解得，C正确；
对于D，当时，，则，D正确.
故选：BCD.
11. 在中，平面，边在平面上的射影长分别为8，12，则边在上的射影长可能为（ ）
A. B. C. 15D.
【答案】AD
【解析】因为，且边在平面上的射影长分别为8，12，
所以点到的距离分别为6，9.
当在的同一侧时，在上的射影长为；
当在的两侧时，在上的射影长为.
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知方程的一个根为，则__________.
【答案】3
【解析】方法一：因为的一个根为，
则方程的另一个根为，
结合韦达定理可得.
方法二：将代入方程得，解得.
故答案为：3.
13. 已知正方体的棱长为1，点到平面的距离为__________.
【答案】
【解析】设点到平面的距离为，由，
得，解得.
故答案为：.
14. 如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则__________；__________.
【答案】
【解析】在中，可知，
因为，且为的平分线，可知，
则，
在中，可得，
在中，可得，
所以；
因为，
，
在中，由正弦定理可得，
则，解得，
由正弦定理可得，
且为的平分线，则，可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，则，
在中，可知，
在中，可知，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数.
（1）若是纯虚数，求；
（2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围.
解：（1）因为是纯虚数，所以，
由，解得或，
由得，且，故.
（2）因为对应的点位于第三象限，所以，
所以解得的取值范围是.
16. 为了全面提高学生的素质，促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，并从该校高一､高二､高三年级共2000名学生中随机抽取100名，对他们某周参加活动的时长（单位：分钟）进行了统计，并将时长按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求；
（2）估计该校学生每周参加社会实践活动的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若该校高一､高二､高三年级学生人数比为，估计该校高三学生中每周参加社会实践活动的时长不少于30分钟的人数.
解：（1）因为，
所以.
（2）估计该校学生每周参加社会实践活动的平均时长为
（分钟）.
（3）由题意知，该校高三年级人数为，
所以估计该校高三学生巾参加社会实践活动的时长不少于30分钟的人数为
.
17. 如图，在四棱锥中，平面为中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求直线与平面所成角的正切值．
解：（1）证明：因为平面平面，
所以．
连接，由，且，知四边形为平行四边形．
又，所以平行四边形为正方形，
则．
又，所以．
又平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接．
因为分别为的中点，所以．
由（1）知平面，所以平面，
则就是直线与平面所成的角．
设，则，
所以．
在直角中，，
所以
所以．
18. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立.
（1）分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率；
（2）求三人中至少有两人成功解出这道题的概率．
解：（1）设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件A，B，C，
根据题意，则有，则，
又，所以，即，
又，则．
即小王、小红成功解出这道题的概率分别为，.
（2）设三人中至少有两人成功解出这道题为事件D，
则有
，
所以三人中至少有两人成功解出这道题的概率为．
19. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）若，求角；
（2）若为锐角三角形，设，求的取值范围.
解：（1）解法一：由可得，代入，
得，即，
则.
由正弦定理得，
即，
即，可得.
因，则，
可知，解得.
解法二：因为，所以.
又因为，
则.
即，
由正弦定理得.
且
，
即有.解得.
由，可得.
（2）由（1）可得，
由正弦定理得，①
由余弦定理得.
对①式进行变形可得，
所以.
因为为锐角三角形，所以即
解得，从而，
又，所以，即的取值范围为.