广东省云浮市2023−2024学年高一下学期期末教学质量检测 数学试题（含解析）

这是一份广东省云浮市2023−2024学年高一下学期期末教学质量检测 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．6
2．欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作．若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．设，则（ ）
A．2B．3C．D．4
4．已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为，则该组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．86，84B．，C．，D．85，84
5．在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（ ）

A．B．
C．D．
7．已知矩形的对角线长为1，将沿折起得到三棱锥，且三棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件为“从中任取的1个函数是奇函数”，事件为“从中任取的1个函数是偶函数”，事件的对立事件分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．
C．D．外接圆的面积为
10．已知平面向量，则下列结论正确的是（ ）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数，使得
D．若，则在上的投影向量的坐标为
11．在中，平面，边在平面上的射影长分别为8，12，则边在上的射影长可能为（ ）
A．B．C．15D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知方程的一个根为，则 .
13．已知正方体的棱长为1，点到平面的距离为 .
14．如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则 ； .

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数.
(1)若是纯虚数，求；
(2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围.
16．为了全面提高学生的素质，促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，并从该校高一､高二､高三年级共2000名学生中随机抽取100名，对他们某周参加活动的时长（单位：分钟）进行了统计，并将时长按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求；
(2)估计该校学生每周参加社会实践活动的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若该校高一､高二､高三年级学生人数比为，估计该校高三学生中每周参加社会实践活动的时长不少于30分钟的人数.
17．如图，在四棱锥中，平面为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正切值．
18．2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立.
(1)分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率；
(2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率．
19．记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求角；
(2)若为锐角三角形，设，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】因为，所以，解得.
故选D.
2．【答案】B
【分析】利用列举法求解即可.
【详解】记4部书籍分别为，
则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为共有6个，
抽到《光学》的基本事件为共有3个.
所以抽到《光学》的概率为.
故选B.
3．【答案】A
【分析】利用复数的除法法则得到，利用模长公式求出答案.
【详解】因为，所以.
故选A.
4．【答案】C
【分析】将数据排序，求出平均值和中位数即可.
【详解】将样本数据按升序排列为，
可得平均数，
因为有8个数据，所以中位数为.
故选C.
5．【答案】D
【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可.
【详解】.
故选D.
6．【答案】C
【分析】借助线面角定义与等角定理可得与相等，与相等，结合线面垂直的性质定理计算即可得.
【详解】连接，由长方体的性质可得平面，
故与平面所成的角为与相等，
又平面，故，即，
又，故与所成的角与与所成角相等，
即与相等，又，
故.

故选C.
7．【答案】B
【分析】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等，再根据矩形的性质，可知球心在矩形对角线中点，所以半径为，由表面积求解即可.
【详解】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等.
记矩形中心为，由矩形的性质知点在翻折过程中到四个顶点的距离相等，
即其为外接球球心，对角线的一半即为外接球半径，则.
故选B.
8．【答案】D
【分析】首先判断各函数的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判断即可.
【详解】由题可知，对于①：，则，解得，
所以，故为偶函数且为奇函数；
对于②：为奇函数；
对于③：为奇函数；
对于④：为偶函数；
对于⑤：定义域为，为非奇非偶函数；
对于⑥为非奇非偶函数；
则事件为：①，②，③；事件为：④，⑤，⑥；
事件为：①，④；事件为：②，③，⑤，⑥；
事件为：①，②，③，④；为：⑤，⑥；
所以，，，，
，，
所以，，故A，C错误；
又为：①；所以为：②，③，④，⑤，⑥，所以，
则，故B错误；
因为，所以，故D正确.
故选D.
9．【答案】AC
【分析】对于A，运用余弦定理求解即可；对于B,C,D借助正弦定理求解即可.
【详解】对于A：由余弦定理，得，解得或（舍去），故A正确.
对于B，C：因为，所以，解得，故B错误，C正确.
对于D：设外接圆的半径为，因为，所以外接圆的面积为，故D错误.
故选AC.
10．【答案】BCD
【分析】对于A，借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对于B，借助模长定义计算即可得；对于C，根据数量积的运算律得到，计算即可得；对于D，由投影向量的定义求解即可得.
【详解】对于A：当时，，不能作为平面向量的一个基底，故A错误；
对于B：由，得，所以有最小值，故B正确；
对于C：由，两边同时平方得，则，解得，故C正确；
对于D：当时，，则，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】AD
【分析】根据射影概念，分情况讨论当在的同侧，异侧，进行求解即可.
【详解】因为，且边在平面上的射影长分别为8，12，所以点到的距离分别为6，9.
当在的同一侧时，在上的射影长为；
当在的两侧时，在上的射影长为.
故选AD．
12．【答案】3
【分析】方法一：根据题意得到方程的另一个根为，由韦达定理得到答案；
方法二：将代入方程，求出答案.
【详解】方法一：因为的一个根为，则方程的另一个根为，
结合韦达定理可得.
方法二：将代入方程得，解得.
13．【答案】
【分析】根据等体积法即可求解.
【详解】

设点到平面的距离为，由，得，
解得.
14．【答案】
【分析】根据题意结合角度关系分析可知，，即可得结果；根据题意利用正弦定理可得，，根据图形分别求，即可得结果.
【详解】在中，可知，
因为，且为的平分线，可知，
则，
在中，可得，
在中，可得，
所以；
因为，
，
在中，由正弦定理可得，
则，解得，
在中，可知，则，
由正弦定理可得，
因为为的平分线，则，可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，
在中，可知，
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出；
（2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）因为是纯虚数，所以，
由，解得或，
由，解得且，故；
（2）因为对应的点位于第三象限，所以，
所以，解得，
故的取值范围是.
16．【答案】(1)
(2)37
(3)396
【分析】（1）由所有分组的频率之和为1，求的值；
（2）利用频率分布直方图由公式计算平均值；
（3）利用频率计算频数.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）估计该校学生每周参加社会实践活动的平均时长为
（分钟）；
（3）由题意知，该校高三年级人数为，
所以估计该校高三学生巾参加社会实践活动的时长不少于30分钟的人数为.
17．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据条件证出，，利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，连接，先证明就是直线与平面所成的角，再解三角形即可．
【详解】（1）证明：因为平面平面，
所以．
连接，
由，且，可知四边形为平行四边形．
又，所以平行四边形为正方形，
则．
因为，且，可知四边形为平行四边形．
所以，所以．
又平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接．
因为分别为的中点，所以．
由（1）知平面，所以平面，
则就是直线与平面所成的角．
设，则，
所以．
在中，，
所以
所以．
18．【答案】(1)小王、小红解出概率分别为，
(2)
【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得；
（2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得.
【详解】（1）设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件A，B，C，
根据题意，则有，则，
又，所以，即，
又，则．
即小王、小红成功解出这道题的概率分别为，；
（2）设三人中至少有两人成功解出这道题为事件D，
则有
，
所以三人中至少有两人成功解出这道题的概率为．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：根据可得利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而分析求解；解法二：由内角和定理结合正弦定理得出，再由三角恒等变换得出；
（2）由正弦定理得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围.
【详解】（1）解法一：由可得，代入，
得，即，
则.
由正弦定理得，
即，
即，可得.
因为，则，
可知，解得.
解法二：因为，所以.
又因为，则.
即，
由正弦定理得.
且
，
即有.解得.
由，可得.
（2）由（1）可得，
由正弦定理得，①
由余弦定理得.
对①式进行变形可得，
所以.
由（1）可得，
又因为为锐角三角形，所以即
解得，从而，
又，所以，即的取值范围为.