苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第14讲一元二次方程全章复习与测试(原卷版+解析)

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1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【基础知识】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程
（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．
解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
【考点剖析】
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2021秋•丹阳市期末）若方程xm+1﹣8x﹣8＝0是一元二次方程，则m的值等于（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．0
二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．（2021秋•密山市校级期末）方程x2﹣x＝0的一次项系数是 ，常数项是 ．
三．一元二次方程的解（共1小题）
3．（2021秋•金湖县期末）根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：
则方程x2+px+q＝0的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是1，十分位是1
B．解的整数部分是1，十分位是2
C．解的整数部分是1，十分位是3
D．解的整数部分是1，十分位是4
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
4．（2022•盐城开学）解方程（x﹣1）2＝225．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
5．（2022春•温州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
6．（2022•海陵区一模）
（1）分解因式：3a2﹣6a+3； （2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
六．解一元二次方程-公式法（共1小题）
7．（2022•泗洪县一模）解下列方程：
（1）（2x+1）（x﹣3）＝0； （2）．
七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）
8．（2021秋•平罗县期末）方程（x+1）（x﹣2）＝0的两根分别为（ ）
A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2
9．（2022春•海安市期中）方程x2﹣2022x＝0的解是 ．
10．（2022春•张家港市校级期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）3x2﹣1＝2x+2
八．换元法解一元二次方程（共1小题）
11．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
九．根的判别式（共1小题）
12．（2022春•海门市期中）若方程mx2+6x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
一十．根与系数的关系（共2小题）
13．（2022春•崇川区校级月考）已知方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 ．
14．（2022•靖江市一模）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 ．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
15．（2022春•海门市期中）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2D．x2﹣102＝（x﹣1）2
16．（2019春•阜阳期中）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为 ；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为： ．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
一十二．一元二次方程的应用（共1小题）
17．（2022春•鼓楼区校级月考）我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题．
（1）已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数，并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？
（2）某商品现在每件盈利10元，每天可卖出30件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？
一十三．配方法的应用（共1小题）
18．（2022春•润州区校级期中）阅读材料：
数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解决下列问题：
（1）代数式x2+10x﹣6的最小值为 ；
（2）试比较代数式A＝3x2﹣2x与B＝2x2+4x﹣10的大小，并说明理由．
一十四．高次方程（共1小题）
19．（2021秋•溧阳市期中）阅读理解：
对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
理解运用：
如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，
即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0．
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：
求方程x3﹣5x+2＝0的解．
一十五．无理方程（共1小题）
20．（2021秋•秦淮区期中）阅读解方程的途径．
方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程．
（1）请用“转化”的数学思想，填写如图的空格．
（2）求方程x的解．
一十六．一元二次方程的整数根与有理根（共1小题）
21．（2010秋•海淀区校级月考）已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程根的情况．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程
2．（3分）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2014的值为（ ）
A．2014B．2015C．2016D．2017
3．（3分）用直接开平方法解方程（x﹣3）2＝8，得方程的根为（ ）
A．x＝3+22B．x＝3﹣22C．x＝3±23D．x＝3±22
4．（3分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时，此方程可变形为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．2B．﹣1C．12D．72
6．（3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+1＝0B．x2+4x﹣4＝0C．x2+x0D．x2﹣x0
7．（3分）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（ ）
A．5人B．6人C．7人D．8人
8．（3分）一元二次方程2x2+6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，6，9B．6，2，9C．2，6，﹣9D．6，2，﹣9
9．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
10．（3分）下面结论错误的是（ ）
A．方程x2+4x+5＝0，则x1+x2＝﹣4，x1x2＝5
B．方程2x2﹣3x+m＝0有实根，则m
C．方程x2﹣8x+1＝0可配方得（x﹣4）2＝15
D．方程x2+x﹣1＝0两根x1，x2
二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）
11．（3分）（1）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
（2）一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝ ．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ．
13．（3分）若x1是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝ ，该方程的另一个根x2＝ ．
14．（3分）已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝ ，x1•x2＝ ，（x1﹣1）（x2﹣1）＝ ，x1﹣x2＝ ．
15．（3分）某单位准备将院内一块长30米，宽20米的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532平方米，那么小道进出口的宽度应为 米．（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
16．（3分）已知多项式A＝x2﹣x+（3），若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ．
17．（3分）已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是 ．
18．（3分）设x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两根，则x12+x22＝ ， ．
19．（3分）一元二次方程x2﹣mx+m＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x1x2+x2＝ ．（用含m的代数式表示）
三．解答题（共6小题，满分43分）
20．（6分）解方程
（1）x2﹣4x＝0； （2）4x2﹣25＝0； （3）2x（x﹣3）+x＝3．
21．（6分）已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程根的情况．
22．（6分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？
23．（6分）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为25米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为80平方米？
24．（9分）在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．
（1）求6、7两月平均每月降价的百分率；
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由．
25．（10分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
x
0.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+px+q
﹣2.75
﹣1
﹣0.59
﹣0.16
0.29
0.76