苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第10讲直线与圆的位置关系(7种题型)(学生版+解析)

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1.理解并掌握直线与圆的各种位置关系；
2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练
掌握以上内容解决一些实际问题；
一．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
二．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
三．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
四．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
五．弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．
六．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
七．切割线定理
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．
八．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
一．直线与圆的位置关系
1．（2023•淮阴区一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
2．（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
3．（2022秋•亭湖区校级月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
4．（2022秋•江都区期末）在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A．⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
5．（2023•南关区校级三模）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是 ．
6．（2023•工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长．
二．切线的性质
7．（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（ ）
​
A．（7+2π，9）B．（7+2.5π，9）C．（7+2π，8）D．（7+2.5π，8）
8．（2023•高邮市模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与AB的延长线交于点E，则∠D与∠E的数量关系是（ ）
A．∠D+∠E＝90°B．∠D+2∠E＝180°
C．2∠D﹣∠E＝90°D．2∠D+∠E＝180°
9．（2023•阜宁县二模）如图​，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝115°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为 ．
10．（2023•宝应县一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，点C在劣弧AB上，∠P＝38°，则∠ACB＝ °．
11．（2023•玄武区一模）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝α，则∠PBC的度数为（ ）
A．90°+αB．90C．180°﹣αD．180
12．（2023•邗江区校级模拟）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半径为2的⊙O在射线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为 ．
13．（2023•南通二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙O的切线，交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AC交⊙O于点F，AF＝8，AB＝10，求BD的长．
三．切线的判定
14．（2022秋•东海县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ cm时，BC与⊙A相切．
15．（2022秋•江阴市期末）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．过三点一定可以确定一个圆
D．垂直于半径的直线是圆的切线
16．（2022秋•栖霞区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．三点确定一个圆
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．同弧所对的圆周角相等
17．（2023•沛县模拟）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
18．（2023•鼓楼区一模）如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
四．切线的判定与性质
19．（2023•邗江区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O过B、C两点，且AB是⊙O的切线，连接AO交劣弧BC于点P．
（1）证明：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半径．
20．（2022秋•惠山区期中）如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点是点D，过点A的直线与DC交于点C，
则下列结论错误的是（ ）
A．∠AOD＝2∠ADC
B．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC
C．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线
D．如果AD＝2CD，那么AD＝AO
五．弦切角定理
21．（2022•江阴市校级一模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
六．切线长定理
22．（2022秋•崇川区期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
23．（2022秋•滨海县期中）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 ．
24．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
25．（2021秋•泰州月考）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
七．切割线定理
26．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
27．（2021秋•惠山区校级月考）如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O于点A，若PC＝2，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．无限长B．C．4D．
八．三角形的内切圆与内心
28．（2022秋•泗阳县期末）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．
（1）求证：BD＝PD；
（2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长．
29．（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（ ）
A．3步B．5步C．6步D．8步
30．（2022秋•常州期末）下列有关圆中的结论，错误的是（ ）
A．同圆或等圆的半径相等
B．一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合
C．任意三点都能确定一个圆
D．任意三角形都有内切圆
31．（2022秋•秦淮区期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8B．4，10，10C．5，9，10D．6，8，10
32．（2022秋•惠山区期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝150°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④AE＝DE＝DB．其中，一定正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
33．（2023•靖江市模拟）等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为 ．
一．选择题
1．（2023•常州模拟）如果⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝7cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
2．（2022秋•太仓市期末）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，连接AO与⊙O交于点C，点D为上一点，连接BD，CD．若∠A＝36°，则∠BDC的度数为（ ）
​
A．32°B．18°C．27°D．36°
3．（2022秋•徐州期末）如图，已知⊙C的半径为，正三角形ABC的边长为6，P为AB边上的动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．5B．C．D．6
4．（2023•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠D＝54°，则A的度数为（ ）
A．18°B．20°C．23°D．27°
5．（2022秋•邗江区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．40°B．50°C．60°D．30°
6．（2023•海陵区一模）点P的坐标为（0，2），点A（2，﹣2）是垂直于y轴的直线l上的一点，⊙M经过点P，且与直线l相切于点A，则点M的纵坐标为（ ）
A．B．1C．2D．4
7．（2023•滨湖区一模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，若∠P＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
8．（2022秋•玄武区期末）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若∠CBP＝140°，则∠P的度数为（ ）
A．100°B．80°C．75°D．70°
9．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2022秋•丹徒区期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
[问题解决]如图，现有一块边长为20m的正方形空地ABCD，在AB边取一点M，以MB长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点C划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形ABCD位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A．180m2B．110m2C．250m2D．200m2
二．填空题
11．（2023•鼓楼区一模）如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是 °．
12．（2023•赣榆区二模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是 ．
13．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边E上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，则⊙E与⊙F的面积比为 ．
14．（2022秋•江阴市期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DGF的度数是 °．
15．（2023•沭阳县一模）如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN与⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于 ．
16．（2022秋•江都区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝36°，则∠A的度数为 ．
三．解答题
17．（2023•姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径5，AC＝8，求线段BD的长．
18．（2023•崇川区校级三模）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．
（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；
（2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长．
19．（2023•姑苏区校级一模）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F．连接CE、EF，若AC是⊙O的切线．
（1）求证：∠BAC＝∠CEF；
（2）若AB＝10，AC＝6，CE＝EF，求直径CD的长．
一．选择题
1．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（ ）
A．125°B．115°C．100°D．130°
3．如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
4．如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆
5．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）
A．3：2：1B．1：2：3C．2：3：1D．3：1：2
二．填空题
6．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，点A的坐标为（0，4），直线AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为 ．
7．已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝ ．
8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC＝3，AD，则AB的长为 ．
9．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝ cm时，⊙M与OA相切．
10．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠ABO＝ ．
11．如图，已知⊙O内切于Rt△ABC，∠C＝90°，BC边上切点为点D．作⊙O的直径DE，连结AE并延长AE交BC于点F，若∠AFC＝45°，FD＝2，则AB的长为 ．
三．解答题
12．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE．
（1）过点C作⊙O的切线交BP于点D，求证：CD⊥PA；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝6，求BD的长．
13．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
（1）如图①，△OPC的最大面积是 ；
（2）如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
14．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6，求△GOE的面积．
15．如图，AB为⊙O的直径，△ACD是⊙O的内接三角形，PB切⊙O于点B．
（Ⅰ）如图①，延长AD交PB于点P，若∠C＝40°，求∠P和∠BAP的度数；
（Ⅱ）如图②，连接AP交⊙O于点E，若∠D＝∠P，，求∠P和∠BAP的度数．
16．如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为 ．
17．已知：四边形ABCD是⊙OO的内接四边形，AC是直径，点D是的中点，过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E，四边形ABCD的面积为25．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求BD的长．