第14讲 一次函数、二次函数背景下的存在性问题（讲义）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练

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中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)第十四讲  一次函数、二次函数背景下的存在性问题一、三大必备知识点考点一  等腰三角形存在性考点二  直角三角形存在性考点三  平行四边形存在性             
   一、三大必备知识点一、等腰三角形存在性“两圆一线”得坐标：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；(2)以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；(3)作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．几何法：(1)两圆一线作出点；(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线 段长得点坐标．代数法：(1)表示出三个点坐标A、B、C；(2)由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；(3)分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；(4)列出方程求解． 二、直角三角形的存在性1、勾股定理及其逆定理（1）若▲ABC为直角三角形，那么：。(2)若，那么：▲ABC为直角三角形。2、直线与斜率的关系在平面直角坐标系中，若两直线垂直，()(2)、等腰直角三角形的存在性第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB(AAS)所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 三、平行四边形的存在性平行四边形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，则O的坐标为()或者()解题方法：(1)选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；(2)利用中点坐标公式列方程计算  考点一  等腰三角形存在性 1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．(1)求证：△BOC≌△CED；(2)求经过A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．(不用写过程) 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点A(4，3)，过点P(0，4)作x轴的平行线，分别交y＝kx的图象于点B，交y＝﹣x+b的图象于点C，连接OC．(1)求这两个函数的表达式；(2)求△OBC的面积；(3)在坐标轴上存在点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 3．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B(﹣1，0)，且抛物线经过点D(2，﹣2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE＝S△ABC，求E的坐标；(3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．4．已知抛物线与x轴交于点A(﹣2，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．(3)如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在(2)的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标． 考点二  直角三角形存在性 5．一次函数y＝x+3的图象分别交x、y轴于A、B两点，是否在坐标轴上存在一点C使得△ABC为直角三角形？若有，请求出C点的坐标．  6．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为(﹣2，﹣4)．(1)关于x、y的方程组的解为　   　．(2)求△ABD的面积；(3)在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．    7．在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于x轴上方一点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B(1，0)，且AC＝2BC．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．      8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n(k≠0)经过B，C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5．(1)试求出点B的坐标．(2)分别求出直线BC和抛物线的解析式．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．      考点三  平行四边形存在性9．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A(1，3)，B(﹣2，﹣1)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，直线l1：y＝x+3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)，与x轴交于点B．(1)求直线l2对应的函数解析式；(2)求△ABC的面积；(3)请你找到图象中直线l1在直线l2上方的部分，直接写出此时自变量x的取值范围；(4)在坐标平面内是否存在点P，使以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的二次函数解析式：(2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；(3)如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．              12．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．(1)求b、c的值；(2)点P为线段AC上一动点(不与A、C重合)，过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；(3)在(2)的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．