2022年九年级中考复习三角形相似存在性问题（二）讲义

相似三角形存在性问题（二）

【2019新疆中考删减】

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）点为线段上一动点（点不与点，重合），过点作轴的垂线交（1）中的抛物线于点，当与相似时，求的面积．

【分析】

（1）解析式：；D点坐标为．

（2）由B、C两点坐标易求直线BC解析式：，

不难得出∠CPQ=∠BCO=∠OBC，即在△CPQ和△ABC中，∠CPQ=∠ABC．

接下来求角两边对应成比例：

表示点：设P点坐标为（0<m<4），则Q点坐标为，

表示线段：，，

分类讨论

情况一：当△CPQ∽△ABC时，则，

代入得：，解得：，（舍），

对应P点坐标为，，

．

情况二：当△CPQ∽△CBA时，则，

代入得：，解得：，（舍），

对应P点坐标为，，

．

综上所述，当与相似时，△PQC的面积为或．

【2018常德中考删减】

如图，已知二次函数的图象过点、，与轴交于另一点，且对称轴是直线．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）是轴上的点，过作轴与抛物线交于．过作轴于，当以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似时，求点的坐标．

【分析】

（1）解析式：；

（2）由题意得在Rt△AOC中，AC=4，OC=8，

若△OPQ与△AOC相似，则△OPQ两直角边比为1：2或2：1．

设点：设P点坐标为（m，0），则Q点坐标为

表示线段：故，．

以下进行分类讨论：

情况一：当时，

由题意得：，

化简为：，，

解得：，，

对应P点坐标为（4，0）、（8，0）．

情况二：当时，

由题意得：，

化简为：，，

解得：，，

故对应的P点坐标为（14，0）、（-2，0）．

综上所述，P点坐标为（4，0）或（8，0）或（14，0）或（-2，0）．

【小结】对于直角三角形而言，从三角函数的角度来看，两直角边对应成比例与有一组锐角三角函数值相等其实是一回事，对于位置特殊一点的（比如直角边与坐标轴平行），直接表示线段计算，而位置比较一般的可以通过（1）表示线段；（2）构造三垂直相似得到结果．

【2018绵阳中考】

如图，已知抛物线过点，和点，．过点作直线轴，交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点，过点作直线的垂线，垂足为．连接，使得以，，为顶点的三角形与相似，求出对应点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）解析式：；

（2）思路：已知直角构造两直角边成比例

考虑到△AOC是直角三角形，且两条直角边之比，

若△ADP与△AOC相似，则△ADP两直角边之比或．

表示点：设点P坐标为，则D点坐标为，

表示线段：，，

分类讨论：

情况一：当时，

由题意得：，

解得：，，

对应P点坐标为、．

情况二：当时，

由题意得：，

解得：，

对应P点坐标为（0，0）、．

综上所述，P点坐标为、、（0，0）、．

（3）面积比例问题．

取点M（0，9），连接AM，则，

过点M作MN∥OA，与抛物线交点即为所求Q点．

由题意可知直线MN解析式：，

联立方程：，

解得：，，

故Q点坐标为或．

取点N（0，-9），过点N作OA的平行线，显然与抛物线无交点，

故这种情况不存在对应的点Q．

综上所述，Q点坐标为或．

【2018广安中考】

如图，已知抛物线与直线交于A、B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（-3，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）解析式：；

（2）连接MC，则MC=MD，故问题可转化为的最大值．

如图当B、C、M三点共线时，为最大值．

（3）思路：已知直角构造直角边成比例，化斜为直

考虑到A（0，3）、C（-3，0）、B（-4，1），

易得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，且两直角边之比，

若△APQ与△ABC相似，则或．

考虑到AP、PQ均为斜线，并不容易表示，可转化比例：

过点P作PH⊥y轴交y轴于H点，则

表示点：设P点坐标为（m>0），则H点坐标为，

表示线段：，

分类讨论：

情况一：当时，即，

由题意得：，解得：m=1，

对应的P点坐标为（1，6）．

情况二：当时，即，

由题意得：，解得：（舍）．

综上所述，P点坐标为（1，6）．

【2019安顺中考】

如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；

（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】同上一题

【2018达州中考】

如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．

（1）求抛物线解析式；

（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；

（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O、M、N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】

（1）解析式：；

（2）根据A点坐标（1，1）及AC⊥OA，

可得直线AC解析式：，

联立方程：，

解得：，，

故C点坐标为（5，-3）．

，，

∴．

（3）思路：转化线段比，化斜为直

若△OMN与△AOC相似，

则△OMN两直角边之比或．

考虑到MN为斜线并不容易表示，故可转化比例，

过点M作MH⊥x轴交x轴于H点，则．

表示点：设M点坐标为，则H点坐标为（m，0），

表示线段：，，

分类讨论：

情况一：当时，

由题意得：，化简为，

解得：，，

对应的M点坐标为或．

情况二：当时，

由题意得：，化简为，

解得：，（舍），

对应的M点坐标为．（图太大了就不画了）

综上所述，M点坐标为或或．

【2019锦州中考删减】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交直线于点．

（1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

【分析】

（1）解析式：；

（2）思路：已知相等角构造直角

考虑到△BDE和△ACE有一组对顶角，即∠BED=∠AEC，且∠ACE=90°，

故△BDE中存在一个直角即可．

情况一：若∠EBD=90°，

∵，∴，可得直线BD解析式为，

联立方程：，解得：，，

∴D点坐标为．

情况二：若∠BDE=90°，

过点B作BD∥x轴交抛物线于点D，

联立方程：，解得：，，

∴D点坐标为．

综上所述，D点坐标为或．

【2018铜仁中考删减】

如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）解析式：；

（2）思路：已知相等角构造直角

考虑到QM∥y轴，∴∠BMQ=∠BDO，

又△BOD是直角三角形，故△BQM是直角三角形即可．

情况一：若∠MBQ=90°，

即BQ⊥BD，考虑到，故，

∴直线BQ解析式为，

联立方程：，解得：，，

故Q点坐标为（3，2）．

情况二：若∠BQM=90°，

点Q与点A重合，此时Q点坐标为（-1，0）．

综上所述，Q点坐标为（3，2）、（-1，0）．

【2018莱芜中考】如图，抛物线经过，，三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD、CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）抛物线：；

（2）线段最值问题，当D点坐标为时，DE最大，最大值为．

（3）若△CDE中有一个角与∠CFO相等，考虑到△CDE是直角三角形，

所以此问题等价于△CDE与△COF相似．

∵F是AB中点，∴F点坐标为，

，即△COF两直角边之比OF：OC=1：2,

故△CDE两直角边之比也应为1：2．

下表示CE、DE：

思路1：构造两直角边成比例

设D点坐标为，过点D作DH⊥x轴交BC于H点，

则H点坐标为，

．

考虑到△DEH∽△BOC，

∴，，

又，故．

由题意得：或，

可解得：，．

故D点的横坐标为或．

思路2：构造旋转角（三垂直模型）

情况一：∠DCE=∠OCF，即．

过点B作BQ⊥BC交CD延长线于Q点，过点Q作QG⊥x轴交x轴于G点．

易证△COB∽△BGQ，且，

又OC=3，OB=4，

∴，QG=2，

∴Q点坐标为，

易求直线CQ解析式为：，

联立方程：，

解得：（舍），．

情况二：当∠DCE=∠CFO时，即tan∠DCE=2．

如图，过点B作BP⊥BC交CD延长线于点P，过点P作PH⊥x轴于H点，

易证△COB∽△BHP，且，

又OC=3，OB=4，

∴BH=6，PH=8，

∴P点坐标为（10，8），

∴直线CP解析式为：，

联立方程：，

解得：（舍），．

综上所述，D点横坐标为或．

【2018乌鲁木齐中考】

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（-2，0）、B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．

①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．

【分析】

（1）解析式：；

（2）①过点P作PH⊥x轴交BC于点H，

易证△PDH∽△BOC，∴，

即，故只需求出PH最大值即可．

设P点坐标为，

易求直线BC解析式为，

故H点坐标为，

∴，

当m=4时，可得PH取到最大值为4，

此时，故PD的最大值为．

②在上个例题中，我们用了表示两边成比例即构造旋转角两种思路解决问题，本题尝试用特殊角．

情况一：当∠PCD=∠ACO时，又∠OBC=∠ACO，即∠PCD=∠OBC．

过点C作CP∥x轴与抛物线交点即为P点．

联立方程：，解得：，，

故P点坐标为（6，4），

情况二：当∠PCD=∠CAO时，

，

过点C作CM∥x轴，，

可得：，

附：，，

得．

可求直线CP解析式为，

联立方程：，解得：，，

故P点坐标为．

综上所述，P点坐标为（6，4）或．

【说明】直接写答案的可以这么凑一凑，写过程的还是建议考虑上一题的两种方法．

【2018盘锦中考】

如图，已知A（-2，0），B（4，0），抛物线过A、B两点，并与过A点的直线交于点C．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．

问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）解析式：，对称轴：直线x=1；

（2）考虑到AC、AO是定值，故只需CP+PO最小即可．

作点C关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交点即为P点．

不难求得点P坐标为．

（3）本题我们可以用：

思路1：表示直线边成比例；

思路2：构造旋转角；

思路3：特殊角三角函数值；

除了以上思路之外，还可以：直接构造三垂直相似．

考虑到∠MNC=∠AOC，故两三角形有一组锐角相等即可．

情况一：当∠MCN=∠OAC时，

如图，构造△CPN∽△NQM，且相似比，

不妨设NQ=a，则MQ=2a，CP=2a，PN=4a，

由点C（0，-1）可推得点M坐标为，

代入抛物线解析式，解得：，（舍），

故N点坐标为．

情况二：当∠MCN=∠ACO时，

如图，构造△CPN∽△NQM，且相似比，

不妨设CP=a，则NQ=2a，PN=2a，QM=4a，

故M点坐标为，

代入抛物线解析式，解得：，（舍），

故CP=2，PN=4，

∴N点坐标为（4，-3）．

综上所述，N点坐标为或（4，-3）．

【2019泸州中考删减】

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点A（-2，0），C（0，-6），其对称轴为直线x=2．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x=2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x=2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

【分析】

（1）解析式：；

（2）考虑到∠BED=90°=∠AOC，故只需再满足有一组锐角相等即可．

情况一：当∠BDE=∠CAO时，即，

如图，构造三垂直相似：△DNE∽△EMB，相似比为，

设E点坐标为，则，，

考虑到，即，

解得：，（舍），

故E点坐标为（4，-6）．

情况二：当∠BDE=∠ACO时，即，

如图，构造三垂直相似：△DNE∽△EMB，相似比，

同上设点E坐标为，则，，

考虑到，即，

解得：，（舍），

∴E点坐标为，

综上所述，E点坐标为（4，-6）或．