七年级下册（2024）用关系式表示变量之间的关系教案及反思

这是一份七年级下册（2024）用关系式表示变量之间的关系教案及反思，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.在探索某些图形中变量之间关系的过程中，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感.
2.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想.
3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值之间的对应关系.
4.通过解决实际问题，体会数学与现实生活的联系.
二、教学重难点
重点：能用表达式表示某些变量之间的关系.
难点：能根据关系式求值.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：先进行知识回顾，回顾上节课因变量与自变量的概念，再通过实例引出本节课探索的问题.
概念回顾：我们把变化着的量叫_______，其中一个叫________，另一个叫__________；________随__________的变化而变化.
预设：变量；因变量；自变量；因变量；自变量.
练习回顾：
指出下列实例中的自变量与因变量：
(1)气温随高度变化的过程.
自变量是：________ 因变量是：________
(2)蜡烛在燃烧的过程中，剩余蜡烛的长度随燃烧时间的变化而变化.
自变量是：________ 因变量是：________
(3)在圆的周长公式C=2πr中，随着r的变大，C也变大.
自变量是：________ 因变量是：________
预设：(1)高度，气温；(2)时间，剩余蜡烛的长度；(3) r , C ．
【思考】
确定一个三角形的面积,需要哪几个量？
预设：三角形的面积公式：
确定一个三角形的面积需要三角形的底和高两个量.
追问：该如何表示三角形的面积、底、高这几个量之间的关系？
设计意图：通过回顾自变量与因变量的概念，为本节课的探究学习作知识铺垫，再通过实例引出本课知识点.
环节二 探究新知
【探究】
教师活动：先向学生演示三角形面积变化过程，让学生获得对变量关系的直观体验，接着引导学生探索三角形面积变化过程中的数量关系.
课件展示
如图，△ABC底边BC上的高是6 cm.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
预设： 在△ABC中，若高不变，△ABC的面积S随着底边BC的不断变小而变小.
问题：(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?底边长减少时三角形的面积是如何变化的?
预设：在△ABC中，它的面积S随着底边BC长度的不断变小而变小. 自变量是三角形的底边BC的长度，因变量是三角形的面积S.
设计意图：向学生演示三角形面积变化过程，让学生获得对变量关系的直观体验.
如果三角形的底边长为x(cm)，那么三角形的面积y(cm2)如何表示？
预设：已知△ABC底边BC上的高是6 cm
若三角形的底边长为x，则
三角形的面积y可以表示为：y=3x;
设计意图：进一步探索三角形面积随底边长变化过程中的数量关系.
(3)在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗?与同伴进行交流.
预设： 已知△ABC的面积与底边长的关系公式为：y=3x．
当底边长为12 cm时，
三角形的面积为：y=3×12=36 (cm2)
即取定一个x的值，面积y的值就确定了.
讨论： y=3x表示了______和______之间 的关系，它是变量____随___变化的表达式.
预设：三角形底边长 x；面积 y；y；x.
课件展示
“输入”一个x的值就可以“输出”一个y值,表达式y=3x表达了自变量x和因变量y的数值对应关系.
结论：表达式是表示变量之间关系的另一种方法.可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.
【观察思考】
如图，圆锥的高度是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？底面半径增大时圆锥的体积是如何变化的?
分析：根据观察示意图得知:当圆锥的高一定时，若圆锥的底面半径由小到大，圆锥的体积也由小到大，在底面半径变化的过程中，自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积.
自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积.
预设：自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积.底面半径增大时圆锥的体积也增大.
(2)如果圆锥底面半径为r (cm)，那么圆锥的体积V(cm3)，如何表示？
预设：
分析：根据圆锥的体积公式：
已知圆锥的高度是4 cm，所以圆锥的体积V(cm3)与r的关系式为：.
(3)在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗?
预设： 能确定.
分析：根据圆锥的体积V与r的关系式：
当r=1时，圆锥的体积：；
设计意图：通过探索几何体中底面半径和体积的关系，使学生进一步体会变量之间的对应关系.
【尝试交流】
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳特别是二氧化碳的排放量的一种生活方式.
(1)你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗?其中的字母表示什么?
预设：y=0.785x；y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示耗电量.
分析：根据排碳计算公式，家居用电的二氧化碳排放量=耗电量×0.785，若用y表示家居用电的二氧化碳排放量，用x表示耗电量，则家居用电的二氧化碳排放量用表达式表示为:y=0.785x.
(2)随着耗电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的?与同伴进行交流.

预设：随着用电量的增加,二氧化碳排放量也在增加.
(3)当用电量为100 kW·h时,二氧化碳排放量是多少?
预设：当用电量为100 kW·h时,二氧化碳排放量是100×0.785=78.5(kg).
(4)小明家本月大约用电110 kW·h、耗油75 L、用天然气20 m3、用自来水5 m3,请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和.
解：家居用电的二氧化碳排量与耗电量的表达式为:y=0.785x.
用电的二氧化碳排放量为0.785×110=86.35(kg)
家用天然气的二氧化碳排放量与天然气使用量的表达式为： y=0.19x.
家用天然气的二氧化碳排放量为：0.19×20=3.8(kg)
家用自来水的二氧化碳排放量与自来水使用量的表达式为： y=0.19x.家用自来水的二氧化碳排放量为：0.91×5=4.55(kg)
开私家车的二氧化碳排放量与油耗的表达式为： y=2.7x.
私家车油耗的二氧化碳排放量为：2.7×75=202.5(kg)
小明家这几项的二氧化碳排放总量=86.35+3.8+4.55+202.5=297.2(kg)
小明家这几项的二氧化碳排放量为297.2 kg.
设计意图：通过解决实际问题，发展学生数学表示的能力和社会责任感.
【归纳】
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.
注意：
1.表达式是一个等式.
2.通常把因变量写在等号的左边.
3.含有自变量的代数式写在等号的右边
设计意图：归纳、总结本节课重点内容.
环节四 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例 如图，一个长方形推拉窗，窗高1.2 m，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉开长度b (m)的变化，窗户的通风面积A (m3)也发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)写出通风面积A与拉开长度b之间的表达式；
(3)当拉开长度b从0.2 m变化到0.4 m时，通风面积A从_______m3变化到_______m3
预设：
(1)自变量是窗扇拉开长度，因变量是窗户的通风面积.
(2)通风面积A与拉开长度b之间的表达式为：A=1.2b.
(3)0.24;0.48.
分析(1)根据示意图易知，当活动窗扇向右移动时，窗户通风面积也相应变大.即窗户通风面积随窗扇拉开长度的变化而变化，所以在这个变化过程中，自变量是窗扇拉开长度，因变量是窗户的通风面积.
分析(2)推拉窗是长方形，长方形的面积公式为：长×宽，题中已知推拉窗高1.2 m，所以通风面积A与拉开长度b的表达式为：A=1.2b.
分析(3)通风面积A与拉开长度b之间的表达式为：A=1.2b，
当b=0.2时，通风面积: A=1.2×0.2=0.24；
当b=0.4时，通风面积: A=1.2×0.4=0.48．
设计意图：让学生进一步体会一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感.
环节四 巩固新知
教师给出练习，观察学生完成情况，给予基础较差的同学相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.在地球某地，温度T（℃）与高度d (m)的关系可以近似地用表达式表示，根据这个表达式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果.
2.如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8.
(1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？
(2)用表格表示x从4变到14时(每次增加1)，y的相应值；
(3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由;
3.有一边长为 5 cm的正方形，若边长增加时，则其面积也随之变化.
(1)若边长增加了x cm，则其面积 y(cm2)关于x的表达式是_______________
(2)当 x 由 5 cm变化到 7 cm 时，其面积 y 由________cm2变化到_________cm2
预设：
1.
2.(1)y=4x+60;
(2)
(3)x每增加1时，y增加4.
3.(1)y=(5+x)2;(2)100,144.
解析：
1.将高度d的值分别代入表达式即可得相应温度T的值，用表格整理所得结果.
提示：使用计算器计算，结果保留两位小数.
2.(1)根据题意，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8，而梯形的面积公式为：
∴ 梯形面积y与上底长x之间的关系式：
（2）梯形面积y与上底长x之间的关系式：
x从4变到10时(每次增加1)，y的相应值用表格表示即可.
(3)根据(2)中表格，易知：
x每增加1时，y增加4.
已知：
若x增加1时，y与x之间的表达式为：
y的变化为：
3.分析(1)正方形的面积为：边长×边长.
若边长增加了x ，则面积 y关于x的表达式是：y=(5+x)2
(2)面积 y关于x的表达式是：y=(5+x)2
当x=5时，正方形面积: y=(5+5)2=100
当x=7时，正方形面积: y=(5+7)2=144．
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，学会运用关系式解决实际问题.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：