专题22 特殊平行四边形的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习（全国通用）

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1.掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质；
2.了解平行四边形、矩形、菱形、正方形形之间的关系；
3.探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条条件
考点1：矩形的性质和判定
（1）性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：
① 边的性质：对边平行且相等．
② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．
④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．
点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．
考点2：矩形的判定
判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．
判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．
考点3：菱形的性质
（1） 菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
考点4：菱形的判定定理
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边相等的四边形是菱形。
考点5：菱形的面积
S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n）
考点6：正方形的性质：
1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。
2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3、正方形对边平行且相等。
4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
考点7：正方形的判定：
1）有一个角是直角的菱形是正方形；
2）对角线相等的菱形是正方形；
3）一组邻边相等的矩形是正方形；
4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
正方形的面积公式：面积=边长×边长=12对角线×对角线
【题型1：矩形的性质和判定】
【典例1】（2023•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）45．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形；
（2）解：∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∵CD＝13，CF＝5，
∴DF＝＝＝12，
∵△ADE≌△FCE，
∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝5×12＝15，
平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60，
∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．
1．（2023•呼和浩特）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O．
∵线段MN垂直平分BD，
∴BO＝DO，BM＝DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠MDO＝∠NBO．
又∠DOM＝∠BON，
∴△DMO≌△BNO（ASA）．
∴DM＝BN＝BM＝2．
在Rt△BAM中，
∴AB＝＝．
∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．
故选：A．
2．（2023•杭州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB，
∴＝，
故选：D．
3．（2023•南通）如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵BE＝BC，DE＝CD，BD＝BD，
∴△CBD≌△EBD（SSS），
∴∠CBD＝∠EBD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴OB＝OD，
设AO＝x，则OD＝8﹣x，
∴OB＝8﹣x，
由勾股定理得：AB2+AO2＝OB2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴tan∠ABE＝＝．
故选：C．
4．（2023•新疆）如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AO＝DO，
∵点E、F分别是AO、DO的中点，
∴，
∴OE＝OF；
（2）∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵∠A＝30°，
∴，
∵OE＝OF，
∴，
∴∠EBF＝90°，
∴四边形BECF是矩形．
5．（2022•泰州）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，
∴AD＝AB，
∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，
理由：∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AF＝BC，
∴AF＝DE，
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形．
【题型2：菱形的性质和判定】
【典例2】（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
1．（2023•丽水）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝，
故选：D．
2．（2023•西藏）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
，在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABC＝60°，AE＝3cm，
∴AB＝（cm），
∴BC＝2cm，
∴四边形ABCD的面积＝AE•BC＝6cm2．
故选：D．
3．（2023•乐山）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴CB＝＝5，
∵E为边BC的中点，
∴OE＝BC＝．
故选：B．
4．（2023•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE＝2，
∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，
∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，
∴OD＝2DE＝4，OE＝DE＝2，
∴CO＝CD+DO＝6，
∴BC＝AB＝CD＝3，OB＝BC＝3，
∵∠A＝90°，
∴＝＝3，
∵EF∥CD，
∴∠BEF＝∠BOC＝30°，
∴，
∵EH⊥AB，
∴EH∥OA，
∴△BHE∽△BAO，
∴，
∴，
∴EH＝，
故选：C．
5．（2023•湘西州）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．
（1）求证：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BM∥DN，
∴∠MBO＝∠NDO，
又∠BOM＝∠DON，
∴△BOM≌△DON（ASA），
∴BM＝DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN∥DM，
∴∠DMN＝∠BNM；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
6．（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明见解答过程．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴四边形ADCF是菱形．
【题型2：正方形的性质和判定】
【典例2】（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求证：四边形AECF是正方形．
【答案】证明过程见解答部分．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是菱形；
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，
∴平行四边形AECF是矩形，即∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形．
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1．（2023•常德）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（ ）
A．80°B．90°C．105°D．115°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，
∵OA＝OD，
∴AE＝DF，
在△AEF和△DFE中，
AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，
∴△AEF≌△DFE（SAS），
∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：C．
2．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅①B．仅③C．①②D．②③
【答案】C
【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故选：C．
3．（2023•丹东）如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为 ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴∠BGE＝∠C，
又∵∠EBG＝∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5，
∴BF＝，
∴，
∴．
故答案为：．
一．选择题（共9小题）
1．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（ ）
A．12B．10C．7.5D．5
【答案】C
【解答】解：如图所示：矩形ABCD，对角线AC＝BD＝15，∠AOD＝∠BOC＝60°
∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OD＝OC＝OB＝×15＝7.5（矩形的对角线互相平分且相等）
又∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OD＝AD＝7.5，
∵∠COD＝120°＞∠AOD＝60°
∴AD＜DC
所以该矩形较短的一边长为7.5，
故选：C．
2．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【答案】A
【解答】解：∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故选：A．
3．用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝；是原正方形的面积的一半；故选：A．
4．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【解答】解：A、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误，此选项符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法正确，此选项不合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法正确，此选项不合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故原说法正确，此选项不合题意；
故选：A．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
6．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【答案】D
【解答】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意；
B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意；
故选：D．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ）
A．4B．2.4C．4.8D．5
【答案】C
【解答】解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴BO＝＝4，
∴DB＝8，
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB＝×6×8＝24，
∴BC•AE＝24，
∵BC＝AB＝5，
∴AE＝，
故选：C．
8．如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，
∴∠EOB＝∠COF，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴BE＝CF＝3，
又∵AB＝BC，
∴AE＝BF＝4，
∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．
故选：C．
9．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边AB、BC上，且∠EFD＝90°，若BF＝3，BE＝4，CD＝9，则FC的长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】A
【解答】解：∵∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠EFB+∠DFC＝90°＝∠DFC+∠FDC，
∴∠EFB＝∠FDC，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∴，
∴CF＝12，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若，CE＝1，则BE的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴，
∴，∠EBO＝∠ACB，
∵OE⊥BD，
∴∠BOE＝∠CBA＝90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴即，
解得BE＝2或BE＝﹣3（舍去），
故答案为：2．
11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 90° ；连接CP，线段CP的最小值为 ﹣1 ．
【答案】90°，﹣1．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：90°，﹣1．
12．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、点C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠CBF+∠FCB＝90°，
∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠FCB，同理∠BAE＝∠FBC，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴BE＝CF，
在直角△ABE中，AE＝1，BE＝2，
∴AB＝．
故答案为：．
13．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，当点P运动 1或7 秒时，△ABP和△DCE全等．
【答案】1或7．
【解答】解：设点P运动t秒时，△ABP和△DCE全等．
∵AB＝CD，∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
∴t＝1，
∵AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
即当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
三．解答题（共3小题）
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵△ABC的面积＝BC×AH＝AB×AC，
∴AH＝＝，
∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，
∴EF＝AH＝．
15．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，
（2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形
∴OD＝OC＝DE＝2＝OA，
∴AC＝4
∵∠AOD＝120，AO＝DO
∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90°
∴CD＝2，AD＝CD＝2
∴S矩形ABCD＝2×2＝4
16．将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图叠放．
（1）判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
（2）求四边形AGCH的面积．
【答案】（1）四边形AGCH是菱形，理由见解析过程；
（2）20．
【解答】解：（1）四边形AGCH是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵S平行四边形AGCH＝GC•AB＝AG•CF，AB＝CF，
∴GC＝AG，
∴平行四边形AGCH是菱形；
（2）由①可知，GC＝AG，
设GC＝AG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△ABG中，AB＝4，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴GC＝5，
∴S菱形AGCH＝GC•AB＝5×4＝20．
一．选择题（共7小题）
1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
∵CF＝BC＝CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD＝AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，故④错误；
故选：D．
2．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是2；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2；④四边形OECF的面积始终是4．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝2，
∴△OEF面积的最小值是×2×2＝2，
故②正确；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝4，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2，
则EF＝2，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝＝．
∵OB＝2，OE的最小值是2，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，
故④正确；
故选：D．
3．如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：BH2＝CH×GH．设AB＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（ ）
A．6B．8C．10D．20
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，AB＝a，CH＝b，
∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b，
∴S正方形ABCD＝AB2＝a2，
S长方形AEFG＝AE•EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2，
∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，
∴a2＝2a2﹣3ab+b2，
整理得：a2+b2＝3ab，
∴（a+b）2＝5ab，
∵ab＝5，
∴（a+b）2＝5×5，
∴a+b＝5，
∴阴影部分的周长为：2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．
故选：C．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
在△AGE和MGD中，
，
∴△AGE≌△MGD（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝＝2，
∴GH＝，
故选：C．
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（ ）
A．5B．3.5C．4D．
【答案】A
【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝7，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝7，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+7＝8，FM＝EF﹣AB＝7﹣1＝6，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝10，
∴CH＝5，
故选：A．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
【答案】C
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．
故选：C．
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 2或7 ．
【答案】2或7．
【解答】解：∵△DCE是直角三角形，
∴△PBC为直角三角形，
∴点P只能在AB上或者CD上，
当点P在AB上时，有BP＝CE，
∴BP＝CE＝1，
∴AP＝2，
∴t＝2÷1＝2，
当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，
∴t＝（3+3+1）÷1＝7，
故答案为：2或7．
9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
【答案】．
【解答】解：连接AF，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH∥AF，且，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF＝6，
∵∠B＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴．
故答案为：．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC＝12，则线段CE的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：作EM⊥OA于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥OA，OD＝OB，OA＝OC，
∴EM∥OB，
∴AM：MO＝AE：EB，
∵AE＝BE，
∴AM＝OM，
∴EM是△ABO的中位线，
∴EM＝，
∵DF＝OF，
∴OF＝OD，
∴EM＝OF，
∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，
∴△EMG≌△FOG（AAS），
∴MG＝OG＝1，
∴OM＝2OG＝2，
∴OA＝2OM＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵AE＝BE，
∴△BAC的面积＝2×△BEC的面积＝2×12＝24，
∴AC•OB＝24，
∴OB＝6，
∴EM＝OB＝3，
∵CM＝OM+OC＝2+4＝6，
∴CE＝＝3．
故答案为：3．
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 （﹣3，4）或（8，4）或（3，4） ．
【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．
【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），
∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝5，
①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴点P的坐标为（2，4），
此时，点Q的坐标为（﹣3，4）；
②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：，
∴点P的坐标为（3，4），
此时，点Q的坐标为（8，4）；
③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴点P的坐标为（8，4），
此时，点Q的坐标为（3，4）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；
故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 4.8 ．
【答案】4.8．
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
三．解答题（共5小题）
13．【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
【答案】（1）2﹣2；
（2）①正方形，理由见解析；②2；
（3）2≤CE'≤2+2．
【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
由旋转的性质得：AB'＝AB＝2，
∴CB′＝AC﹣AB'＝2﹣2；
（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，
∴CE＝＝＝2；
（3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′，
∴当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短＝2；
当E'落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC+AE'＝2+2，
∴线段CE′长度的取值范围是2≤CE'≤2+2．
14．已知：如图（1），在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A坐标为（m，0），点C横坐标为n，且m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．
（1）分别求出点A、点B、点C的坐标；
（2）如图（2），点D为边AB中点，以点D为顶点的直角∠EDF两边分别交边BC于E，交边AC于F，①求证：DE＝DF；②求证：S四边形DECF＝S△ABC；
（3）在坐标平面内有点G（点G不与点A重合），使得△BCG是以BC为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．
∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝0，
∴m＝1，n＝4，
∴点A（1，0），CM＝4，
如图（1），过点C作CM⊥OB，CN⊥OA，
∵CM⊥OB，CN⊥OA，∠AOB＝90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∴∠MCN＝90°＝∠ACB，CM＝ON＝4，CN＝OM，
∴AN＝3，
∴∠BCM＝∠ACN，且AC＝BC，∠BMC＝∠ANC，
∴△BCM≌△ACN（AAS）
∴CM＝CN＝4＝OM，AN＝BM＝3，
∴点B（0，7），点C（4，4）；
（2）①如图（2），连接CD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为边AB中点，
∴BD＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠ACD＝45°，AB⊥CD
∵∠EDF＝90°＝∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDF，且BD＝CD，∠ABC＝∠DCA，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DE＝DF，
②∵△BDE≌△CDF，
∴S△BDE＝S△CDF，
∴S△BDE+S△EDC＝S△CDF+S△EDC，
∴S△BDC＝S四边形EDFC，
∵AD＝BD，
∴S△BDC＝S△ABC，
∴S四边形DECF＝S△ABC；
（3）如图（3），
若∠GBC＝90°，BG＝BC时，且点G在BC下方，过点G作GF⊥OB，过点C作CE⊥OB，
∵∠GBF+∠EBC＝90°，∠GBF+∠BGF＝90°，
∴∠EBC＝∠BGF，且∠BEC＝∠BFG＝90°，BG＝BC，
∴△BGF≌△CBE（AAS）
∴BF＝CE＝4，GF＝BE，
∴OF＝3，
∴点G（﹣3，3），
若∠GBC＝90°，BG＝BC时，且点G在BC上方，
同理可求点G（3，11），
若∠GCB＝90°，CG＝BC时，点G在BC上方，
同理可求点G（7，8）
15．综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝CF，DG＝DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接AC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM＝45°，
∴∠HAB＝∠MAC，
∵，
∴△AHB∽△AMC，
∴，
即BH＝CM．
16．回答问题
（1）【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是 ∠BAE+∠FAD＝∠EAF ；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝DF+DG＝FG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）结论：∠EAF＝180°﹣∠DAB．
理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．
17．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 1 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝3，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 ；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．请问．是定值吗？若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）1；
（2）；
（3）见解析；
（4）是定值．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠A＝∠FDC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠DFC＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE与△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴DE＝CF，
∴，
故答案为：1；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠ADB+∠CED＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△ADB∽△DCE，
∴，
故答案为：；
（3）证明：如图，过点作CH⊥AD，交AD延长线于H，
∵∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴CH＝AB，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°＝∠A＝∠H，
∵∠ADE＝∠GDF，
∵∠GFD＝∠HFC，
∴∠ADE＝∠HCF，
∴△ADE∽△HCF，
∴；
（4）解：是定值，理由如下：
连接AC交BD于H，CF与DE交于G，CF与DB交于P，
∵将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAH+∠CAF＝90°，∠BAH+∠EBD＝90°，∠CHP＝90°，
∴∠CAF＝∠DBE，
∵CF⊥DE，
∴∠PGD＝90°＝∠CHP，
∵∠HPC＝∠GPD，
∴∠ACF＝∠BDE，
∴△ACF∽△BDE，
∴，
∵AB＝3，AD＝9，
由勾股定理得BD＝＝3，
∴，
∴AH＝，
∴AC＝2AH＝，
∴
1．（2023•湘潭）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠DCA＝∠1＝20°，
∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，
故选：C．
2．（2023•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4+2B．6+2C．4+4D．6+4
【答案】C
【解答】解：连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
BO＝OD＝2，
∴BD＝4，
∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，
∴EF＝GH＝AC＝2，FG＝EH＝BD＝2，
∴四边形EFGH的周长为：2+2+2+2＝4+4．
故选：C．
3．（2023•西藏）如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH+EG的值是（ ）
A．2.4B．2.5C．3D．4
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，
∴BD＝＝5，
过C作CF⊥BD于F，
∴S△DCB＝CF•BD＝BC•CD，
∴CF＝＝，
连接OE，
∵S△COD＝S△DOE+S△COE，
∴，
∴EH+EG＝CF＝＝2.4，
故选：A．
4．（2023•青岛）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解答】解：连接DG，EF，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形AEFD是矩形，
∴M是ED的中点，
在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1，
∴BC＝DC＝4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG＝＝＝，
在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，
∴MN是三角形EDG的中位线，
∴MN＝DG＝．
故选：B．
5．（2023•台湾）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（ ）
A．B．C．5D．7
【答案】B
【解答】解：如图，连接AP、EF，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∴四边形AEPF为矩形．
∴AP＝EF．
∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．
∵点P从B点沿着BD往D点移动，
∴当AP⊥BD时，AP取最小值．
下面求此时AP的值，
在Rt△BAD中，
∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，
∴BD＝＝＝＝10．
∵S△ABD＝＝，
∴AP＝＝＝．
∴EF的长度最小为：．
故本题选B．
6．（2023•绵阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AGB，
∵BG＝3CG，
∴BG＝3，
∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
∴AG＝，
∵DE⊥AG，
∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△GAB，
∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，
∴4：5＝AE：3＝DE：4，
∴AE＝，DE＝，
又∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝90°，
又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝，
∴EF＝AF﹣AE＝，
∴tan∠EDF＝，
故选：A．
7．（2023•宜宾）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（ ）
A．3（﹣1）B．3（3﹣2）C．6（﹣1）D．6（3﹣2）
【答案】C
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD边长为6，
∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），
由B（0，0），D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x，
设M（m，m），
由A（0，6），M（m，m）得直线AM解析式为y＝x+6，
在y＝x+6中，令x＝6得y＝，
∴P（6，），
∵PM＝PC，
∴（m﹣6）2+（m﹣）2＝（）2，
∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（）2＝（）2，
整理得m2﹣18m+54＝0，
解得m＝9+3（不符合题意，舍去）或m＝9﹣3，
∴M（9﹣3，9﹣3），
∴AM＝＝6（﹣1），
故选：C．
方法2：
∵PM＝PC，
∴∠PMC＝∠PCM，
∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD＝90°，
∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，
∴PD＝＝2，∠CPM＝120°，
∴CP＝CD﹣PD＝6﹣2，
在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，
∴CM＝CP＝6﹣6，
由正方形对称性知AM＝CM＝6（﹣1），
方法3：
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，
由题意：设AM＝m，PM＝n，则PC＝n，DP＝6﹣n，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
化简得：mn＝6m﹣6n，
由勾股定理可知：AD2+DP2＝AP2，
∴62+（6﹣n）2＝（m+n）2，
化简得：m2+2mn+12n＝72，
将mn＝6m﹣6n代入，得：m2+12m﹣12n+12n﹣72＝0，
解得：m1＝6﹣6，m2＝﹣6﹣6（舍去），
∴AM＝6﹣6，
故选：C．
8．（2023•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 AB＝AD（答案不唯一） ，使得矩形ABCD为正方形．
【答案】AB＝AD（答案不唯一）．
【解答】解：AB＝AD．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
9．（2023•宁夏）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的面积是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，AD∥BC，
∴EF＝AB＝2，
∴，
∵，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BCE＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
10．（2023•广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，连接AE，
∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴，
∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，
∵点E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，
∴此时 ，
∴，
∴MN的最大值为．
故答案为：．
11．（2023•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接BB'，过点F作FH⊥AD，
∵已知正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，
∴S四边形ABFE＝，
设CF＝x，则DH＝x，BF＝1﹣x，
∴S四边形ABFE＝，
即，
解得AE＝x﹣，
∴DE＝1﹣AE＝，
∴EH＝ED﹣HD＝，
由折叠的性质可得BB'⊥EF，
∴∠1+∠2＝∠BGF＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
又FH＝BC＝1，∠EHF＝∠C，
∴△EHF≌△B'CB（ASA），
∴EH＝B'C＝，
在Rt△B'FC中，B'F2＝B'C2+CF2，
∴（1﹣x）2＝x2+（）2，
解得x＝．
故答案为：．
12．（2023•岳阳）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．
（1）你添加的条件是 ①（或②） （填序号）；
（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．
【答案】（1）①（或②）；
（2）见解析．
【解答】（1）解：①当∠1＝∠2时，▱ABCD为矩形；
②当AM＝DM时，▱ABCD为矩形，
故答案为：①（或②）；
（2）选择①∠1＝∠2，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A+∠D＝180°，
在△ABM和DCM中，
，
∴△ABM≌DCM（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴▱ABCD为矩形．
13．（2023•张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．
（1）求证：AE∥BF；
（2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．
【答案】（1）（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）∵AD＝BC，
∴AD+CD＝BC+CD，
∴AC＝BD，
∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△AEC≌△BFD（SSS），
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
（2）∵△AEC≌△BFD（SSS），
∴∠ECA＝∠FDB，
∴EC∥DF，
∵EC＝DF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DF＝FC，
∴四边形DECF是菱形．
14．（2023•十堰）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
【答案】（1）四边形BPCO为平行四边形．理由见解析；
（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形．
【解答】解：（1）四边形BPCO为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∵以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形．
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为正方形．
15．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，
∵△ABE的面积等于，
∴，
∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一个外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得，
即平行线AB与DC间的距离是．