重难点08 几何热考题二 三角形热考模型(10种模型汇总+专题训练+10种模型解析)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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【题型汇总】
题型01 A字模型
1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（ ）．
A．180°B．215°C．235°D．245°
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：∵∠A=65°，
∴∠ADE+∠AED=180°−65°=115°，
∴∠BDE+∠CED=360°−115°=245°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1=125°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
【答案】A
【分析】根据三角形外角的性质可得∠3=∠1−∠4，根据平行线的性质可得∠2=∠3．
【详解】解：如图，
由题意知∠4=90°，AB∥CD，
∵ ∠1=∠4+∠3，∠1=125°，
∴ ∠3=∠1−∠4=125°−90°=35°，
∵ AB∥CD，
∴ ∠2=∠3=35°．
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；两直线平行，同位角相等．
3．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【详解】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2= 度．
【答案】240
【分析】由等边三角形的性质可得∠A=60°，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=60°，
∵ ∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，
∴ ∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∵ ∠AED+∠A+∠ADE=180°，
∴ ∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，
故答案为：240．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1＋∠2＝ °．

【答案】230
【分析】根据三角形的内外角之间的关系可求解.
【详解】解：三角形的内角和等于180°，∠D＝50°，
∴∠1=∠D+∠DFE，∠2=∠D+∠DEF.
∵∠DEF+∠DFE+∠D=180°，
∴∠1+∠2=∠DEF+∠DFE+∠D+∠D=180°+50°=230°.
故答案为：230.
题型02 8字模型
1. 如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）．
A．262°B．152°C．208°D．236°
【答案】C
【分析】如图标记∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性质得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记∠1,∠2,∠3，
∵ ∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，
∵∠D=28°，
∴∠3=∠B+∠F−28°，
又∵∠2=∠A+∠C，
∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，
∵∠2+∠3=180°
∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，
∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
2.．（2023临汾市模拟预测）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图（2），AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°．求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是______；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是______．
【答案】（1）见解析；
（2）26°；
（3）∠P=90°+12∠B+∠D；
（4）∠P=180°−12∠B+∠D
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC解方程即可得到答案；
（3）根据直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到
∠PAB=∠PAD=12∠BAD，∠PCB=∠PCE=12∠PCD从而可以得到180°−2∠PAB+∠PCB+∠D=∠B，再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到∠P−∠B=∠PAD+∠PCB=∠PAB+∠PCB即可求解；
（4）连接PB，PD,求得∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°，∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°，再根据∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°，∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，即可求解．
【详解】解：（1）如图.
∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）如图.
∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，
则有x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC，
∴∠ABC−∠P=∠P−∠ADC，
∴∠P=12∠ABC+∠ADC=12 36°+16°=26°
（3）如图.
∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB=∠PAD=12∠BAD，∠PCB=∠PCE=12∠BCE，
∴2∠PAB+∠B= 180°−2∠PCB+∠D，
∴180°−2∠PAB+∠PCB+∠D=∠B
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴∠P+∠PAD−∠BAD−∠B=∠PCD−∠BCD
∴∠P−∠PAB−∠B=∠PCB,
∴∠P−∠B=∠PAB+∠PCB
∴180°−2∠P−∠B+∠D=∠B，
即∠P= 90°+12∠B+∠D．
（4）连接PB，PD
∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，
∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°
∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°
同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°
∵∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，
∴∠APC= 180°−12∠ABC+∠ADC
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．
【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若∠B=36°，∠D=14°，求∠P的度数为 ___________；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M=α，∠N=β，α+β>180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A=___________（用含有α和β的代数式表示），∠P=___________．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M=α，∠N=β，α+β180°，
∴∠AMN=180°−α，∠ANM=180°−β，
∴∠A=180°−∠AMN+∠ANM=180°−180°−α+180°−β=α+β−180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCD=12∠ACD，
∵∠PCD=∠P+∠PBC，
∵∠P=∠RFPCD∠PCD−∠PBC=12∠ACD−∠ABC=12∠A=α+β−180°2，
故答案为：α+β−180°，α+β−180°2；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M=α，∠N=β，α+β