江苏省丹阳市吕叔湘高级中学2024-2025学年高一下学期期末模拟 数学试题（含解析）

这是一份江苏省丹阳市吕叔湘高级中学2024-2025学年高一下学期期末模拟 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．相等向量一定是共线向量
C．若，则D．任意向量的模都是正数
2．复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3．若一个平面截球所得截面圆的半径为3，且球心与截面所围成的圆锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在三棱柱中，，是棱AB上一点，若平面把三棱柱分成体积比为的两部分，则（ ）
A．1B．C．D．
6．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（ ）
A．27 B．
C．D．
7．已知球的表面上有四个点，其中平面，，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在200m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若复数，则
B．若i为虚数单位，n为正整数，则
C．若，则
D．若，其中a，b为实数，a=1，b=-1
10．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为2
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为2
11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B．设，，为非零向量，则
C．设，为非零向量，若，则
D．若点为的重心，则
三、填空题
12．已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为 ．
13．在正四棱锥中，，点是的中点，则直线和所成角的余弦值为 ．
14．已知，则 ．
四、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,．
(1)求的值；
(2)若，求．
16．某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.

(1)求和的值；
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？
17．已知，，设，
(1)若，求实数k的值；
(2)当时，求与的夹角的余弦值；
(3)是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由．
18．在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且的面积为.若，边上的两条中线，相交于点，如图所示.

(1)求的余弦值；
(2)求的值.
19．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求的面积．
2025年江苏省丹阳市吕叔湘高级中学数学高一年级下期末模拟卷
参考答案
1．B
【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.
【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；
对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；
对于D，零向量的模长是，故D错误．
故选：B.
2．B
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解.
【详解】，
则.
故选：B.
3．C
【分析】由圆锥的体积公式可得圆锥的高，再由勾股定理可得球的半径，结合球的表面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设截面圆的半径为，圆心为，球的半径为，
则圆锥．
，．
又，，
球的表面积为．
故选：C．
4．B
【分析】在直角梯形中证明出，然后由线面垂直的性质定理得，从而得平面，得出，然后利用中点性质可得结论．
【详解】平面，平面，∴，
是直角梯形，，，，，
则，，所以，，
，平面，所以平面，又平面，所以，即到直线的距离是，
是中点，所以到的距离等于到直线的距离的一半，即为．
故选：B．
5．D
【分析】先画出平面与三棱锥的截面，分析清楚两部分是什么几何体，由等体积求解即可.
【详解】如图：
延长与交于，连接交于，
则平面与三棱锥的截面是，
将三棱锥分成两部分，三棱台，多面体，
设，，，
，
，设，则，
，则，
，解得：，由于
所以
故选：D.
6．B
【分析】设，分别是上、下底面中心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点，求出棱台的斜高，从而求出其侧面积.
【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm，
连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点，
在中，，
，
所以，
所以．
故选：B
7．D
【分析】求的外接圆的半径，利用球心与圆心的连线垂直底面，构成直角三角形即可求解三棱锥外接球的半径，可得其表面积.
【详解】在中， ，，
由余弦定理可得，
设外接圆的圆心为 ，半径为r，球心为O，
由正弦定理可得， ，得，
平面ABC，且球心到点P，A的距离相等，
球心与底面的距离为 ，
球心与圆心的连线垂直于底面，，
，
该三棱锥外接球的表面积
故选：D
8．C
【分析】利用正切三角函数，首先求出的长，再利用正切三角函数求出，最后代入计算即可.
【详解】依题意可得图象如图所示,从塔顶向山体引一条垂线,垂足为.
则,则，
,
塔高,
故选：C.
9．AD
【分析】利用复数的性质判断选项A；通过计算判断选项BD；举反例判断选项C即得解.
【详解】对A， 若复数，则，所以该选项正确；
对B，若i为虚数单位，n为正整数，则，所以该选项错误；
对C，若，则不一定成立，如，所以该选项错误；
对D，若，其中a，b为实数，则 .所以该选项正确.
故选：AD
10．BD
【分析】由复数的运算法则，可判定A不正确；求得，可判定B正确；根据题意，得到方程的另一根为，进而求得，可判定C不正确；结合复数的几何意义，可判定
D正确.
【详解】对于A中，由复数的运算法则，可得，所以A不正确；
对于B中，由复数，可得，可得的虚部为，所以B正确；
对于C中，由若是关于的方程的一个根，
可得方程的另一根为，则，所以C不正确；
对于D中，由复数满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为的圆，
又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为，所以D正确.
故选：BD.
11．CD
【分析】由，可得，可判断A；根据数量积的意义判断B；根据向量垂直，数量积等于0计算，判断 C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D.
【详解】对于A选项，若，则，，
与平行或与夹角为锐角，所以A错误；
对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量，
而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误；
对于C选项，因为，所以，
，所以C正确；
对于D选项，为的重心，

则点，，分别为，，的中点，
且，，，
则，所以D正确．
故选：CD．
12．
【分析】由题在复平面上对应的点位于第二象限，即要实部小于零，虚部大于零，建立不等式组可解出.
【详解】依题意得：，得，
∴.
故答案为：
13．/
【分析】作出辅助线，得到为异面直线和所成的角或其补角，根据边长求出，求出，得到答案.
【详解】如图，连接相交于，连接，则为的中点，
又为的中点，所以，
所以为异面直线和所成的角或其补角．
又为等边三角形，且边长为1，故，
又，，所以，
所以，所以．
异面直线和所成的角的余弦值为．
故答案为：．
14．//
【分析】由倍角公式结合商数关系求解即可.
【详解】因为，则，
所以．
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理角化边即可求解;(2)根据弦化切将原等式变为，
角化边即可得到，再结合可得，，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为,
结合余弦定理，得，
即，
所以．
（2）由，
即，即
即，又，
所以，，
所以.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）可求得在的一组的，可求，利用概率和为，可求得；
（2）由已知可求得屏幕需求尺寸为的人数与屏幕需求尺寸为的人数，可求得在每组各抽了多少人，利用古典概型概率公式计算可得2人来自同一分组的概率.
【详解】（1）因为屏幕需求尺寸在的一组人数为50人，
所以其频率为.又因为组距为0.5，所以.
又因为，所以，
即，.
（2）因为屏幕需求尺寸为人数为：，
屏幕需求尺寸为人数为，
若要用分层抽样的方法抽取6人
所以要在组中抽2人，设为，；
要在组中抽4人，设，，，，
因此样本空间
，，，，，，
，，，，共15个基本事件，
而这2人来自同一分组为事件，
，共7个基本事件，
所以这2人来自同一分组的概率.
17．(1)1
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由向量的坐标，可求向量的模和数量积，若，则，利用向量的模和数量积求实数k的值；
（2）由向量的夹角公式，利用向量的模和数量积求与的夹角的余弦值；
（3）由向量的平行条件，求实数k的值.
【详解】（1）由题意，向量 ， ，可得 ，
由，
得，
解得；
（2）时，，
，
．
∴，
∴与的夹角的余弦值为；
（3）由，则成立，得，
因为不共线，故，解得．
∴存在实数，使得．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合三角形面积公式及已知可求得，求得，再利用余弦定理求得，从而可得，由勾股定理求得，再由余弦定理计算出；
（2）是的重心，由此可得，从而得出结论．
【详解】（1）已知，由正弦定理，得，由，得，
由的面积，得，
相除得，又，故，
由，，得，，由余弦定理得，即，，
在中，，，，满足，
所以为直角三角形，.
在中，，，
所以.
（2）在中，为边上的中线，所以，
由，分别为边，上的中线可知为的重心，
可得，，
所以 .
19．(1)或
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角.
（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1）由，及正弦定理得，
因为为三角形内角，故，故得，
又为三角形内角，所以或.
（2）由，
得，
又，所以，所以.
由（1）得，故，所以，
而为三角形内角，所以，，
结合，可得.
由正弦定理，得，
故的面积.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
B
D
B
D
C
AD
BD
题号
11









答案
CD