江苏省丹阳市正则高级中学2024-2025学年高一下学期 数学期末模拟试卷（含解析）

这是一份江苏省丹阳市正则高级中学2024-2025学年高一下学期 数学期末模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．13B．C．5D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
3．有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A．65，76，82B．66，74，82C．66，76，79D．66，76，82
4．有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15例”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据判断，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：均值为4，中位数为3B．乙地：均值为5，方差为10
C．丙地：中位数为3，众数为2D．丁地：均值为3，方差大于0
5．在正四面体中，棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图的五面体由棱长为2的正四面体与正四棱锥构成．若平面与平面平行，且把五面体分成体积相等的两部分，则平面与平面之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（多选题）下列复数的三角形式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》（以下简称《宣言》）.承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示．经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，则预计该地区（ ）
A．2030年煤的消费量相对2020年减少了
B．2030年石油的消费量相对2020年不变
C．2030年天然气的消费量是2020年的5倍
D．2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍
11．（多选）如图，三棱台中，是上一点，，平面，，，则（ ）
A．过点有四条直线与、所成角均为
B．平面
C．棱上存在点，使平面平面
D．若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，且长度的最小值为
三、填空题
12．一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为 ．
13．若，则 .
14．已知平面向量，，满足，，则的最小值为 .
四、解答题
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证:四边形EFGH是平行四边形.
16．已知z是复数，和均为实数，其中i是虚数单位.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)记，若复数对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
17．我国是世界上严重缺水的国家之一，某地区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了2021年1000位居民每人的月均用水量（单位：t），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量低于3t的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
18．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：
(1)底面；
(2)平面平面.
19．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求角．
(2)为边上一点，且．
①若，求当取最小值时的值；
②若为角平分线，求的取值范围．
2025年江苏省丹阳市正则高级中学高一年级下期末模拟卷参考答案
1．D
【分析】利用共轭复数概念以及复数的模公式求解判断.
【详解】，.
故选：D.
2．B
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，即可求解.
【详解】由复数，可得，所以，
则．
故选：B.
3．D
【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.
【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
中位数为：，
因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
故选：D.
4．B
【分析】根据给定条件，利用均值，中位数，众数，方差的意义逐一判断各个选项即得..
【详解】对于A，均值为4，中位数为3，不能保证10个数据中每个数据都不超过15，
如前4天每天新增疑似病例都为1，第5至第10天每天新增疑似病例数依次为2，4，4，5，5，16，
满足均值为4，中位数为3，而第10天新增疑似病例数超过15，A不是；
对于B，均值为5，方差为10时，令这10个数据依次为，则，
，则，即，因此所有数据都不超过15，B是；
对于C，中位数为3，众数为2，不能保证10个数据中每个数据都不超过15，
如前5天每天新增疑似病例都为2，第6至第10天每天新增疑似病例数依次为4，4，4，4，24，
满足中位数为3，众数为2，但第10天新增疑似病例数超过15，C不是；
对于D，均值为3，方差大于0，不能保证10个数据中每个数据都不超过15，
如前9天每天新增疑似病例都为0，第10天新增疑似病例数为30，
满足均值为3，方差大于0，但第10天新增疑似病例数超过15，D不是.
故选：B.
5．B
【分析】根据题意作出线面角的平面角，利用线面垂直和勾股定理即可求出正弦值为.
【详解】如下图所示：
取为底面的中心，为底面的中点，连接；
由正四面体性质易知底面，且三点共线，
所以即为棱与底面所成角的平面角，
取正四面体的棱，可得，
由正三角形中心可得，勾股定理可得
所以；
故选：B
6．B
【分析】要作一个平行于平面的截面将其分成体积相等的两部分，显然上面是一个三棱柱，下面是一个等高的四棱柱，只需上面的小三棱柱的底面积与原来的大三棱柱的底面积之比为即可，于是得到对应边的相似比为，从而即可得解．
【详解】
设平面截五面体所得的截面为，
则三棱柱与四棱柱等高．
因为平面把五面体分成体积相等的两部分，
所以与的面积之比为．
易知与均为等边三角形，
所以．
连接交于点，连接，
则为正四棱锥的高，
所以平面与平面之间的距离．
而，
所以平面与平面之间的距离．
故选：B．
7．A
【分析】根据题意，当三点共线，且时，有最小值，利用勾股定理求出答案即可.
【详解】过点作，交于点，交于点，
过点作，交于点，连接，
取中点，连接，
根据题意，因为，
所以当三点共线，且时，
，且有最小值，如图所示，
在中，，，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
所以的最小值为，
故选：A.
8．D
【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】因为的面积为，
所以，
中，由余弦定理得，，
则，
因为，
所以,
又，，
所以，
化简得，
解得或（不合题意，舍去）；
因为，
所以，，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，
所以，
设，其中，
所以
，
又，
所以时，取得最大值为，
时，，时，，且，
所以，即的取值范围是，
故选：D．
9．BC
【分析】根据复数的三角形式分别判断各个选项即可.
【详解】复数的三角形式为，所以只有B、C正确，A、D选项错误.
故选:BC.
10．CD
【分析】设年该地区一次能源消费总量为，计算出2030年该地区煤、石油、天然气以及水、核、风能的消费量，逐项判断可得出正确选项．
【详解】设年该地区一次能源消费总量为，则预估年一次能源消费总量为.
对于选项A，2020年煤的消费量为，规划2030年煤的消费量为，故选项A错误；
对于选项B，2020年石油的消费量为，规划2030年石油的消费量为，故选项B错误；
对于选项C，2020年天然气的消费量为，规划2030年天然气的消费量为，故选项C正确；
对于选项D，2020年水、核、风能的消费量为，规划2030年水、核、风能的消费量为，故选项D正确．
故选：CD.
11．ACD
【分析】由的平分线绕点在过直线且与平面垂直的平面内旋转确定直线的位置判断A，求出与不垂直，判断B，过作交于点，由面面平行的判定定理证明面面平行后判断C，根据线面角定义确定点轨迹后求得最小值判断D．
【详解】选项A，由异面直线所成角的定义考察过点的直线，如图，直线是的平分线，
即，
在过直线且与平面垂直的平面内．把直线绕点旋转，
旋转过程中始终保持该直线与的夹角相等，
旋转到与平面垂直位置时，直线与的夹角为，因此中间必有一个位置，使得夹角为，
以为旋转中心，点向上移有一个位置，向下移也有一个位置，同样点
（如图，点在的反向延长线上）向上移有一个位置，向下移也有一个位置，共四个位置得四条直线，
由于夹角为，这四条直线不重合，再过作这四条直线的平行线，满足题意，故A正确，

选项B，因为平面，平面，所以，
因此是直角梯形，，则，但，
因此与不垂直，从而与平面不垂直，B错；
选项C，如下图，由，得，
又，即得，
所以，
又平面，平面，所以平面，
过作交于点，是平行四边形，，
点在线段上），同理可得平面，
又是平面内两相交直线，所以平面//平面，C正确；

选项D，因为平面，平面，所以，又，
，、平面，所以平面，
而平面，所以平面平面，
过作，垂足为，由面面垂直的性质定理得平面，
在直角梯形中，，
所以在直角中，，，
与平面所成角的正切值为，即，
所以，
因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为，D正确．

故选：ACD．
【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题是个难点．确定轨迹的方法一种是利用空间直线与平面的平行或垂直关系得出动点所在的直线或平面满足的平行或垂直，从而得出轨迹，第二种利用空间角、距离的定义通过计算确定动点到某个定点的距离为定值（如本题），由平面几何知识得轨迹，该轨迹在平面内的部分即为所求（常常求的是在几何体某个面上的轨迹，因此要加范围限制）．
12．
【分析】利用向量的数量积的意义计算可求解.
【详解】由题意可得，，可得，
力对物体做的功．
故答案为：.
13．/
【分析】先将用表示，再根据诱导公式以及二倍角余弦公式求得结果.
【详解】因为
故答案为：.
14．/
【分析】求出向量的模及夹角，记，得出对应点的轨迹，利用数形结合求最值.
【详解】由，即，所以，
记，因为，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，在以为圆心，2为半径的圆上，其中，
所以，
作A关于直线l（所在直线）的对称圆，的对称点记为，知，
则，如图，

由图可知，当共线时，存在最小值，
因为，
所以最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量的几何表示，原问题转化为求最小值，数形结合，利用共线线段最短得解.
15．证明见解析
【分析】利用三角形的中位线及平行四边形的判定来证明.
【详解】在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，
所以EF∥AB，EF=AB，同理GH∥DC，GH=DC.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB=CD，
所以EF∥GH，EF=GH，
所以四边形EFGH是平行四边形.
16．(1)
(2)
【分析】（1）设，分别代入和，再根据两者均为实数可求得，，进而可求得复数z的共轭复数；
（2）化简，再根据复数对应的点在第三象限可建立不等式组，求解即可.
【详解】（1）设，则
由为实数，则，所以，
由为实数，则，所以
则，复数z的共轭复数.
（2）由（1）可知，
由对应的点在第三象限，得，即，
解得
故实数m的取值范围为
17．(1)
(2)264000，理由见解析
(3)2.04t
【分析】（1）根据频率分布直方图中，各个小长方形的面积之和等于即可求解；
（2）根据频率分布直方图计算出100位居民月均用水量低于3的频率，由此能估计30万居民月均用水量低于3的人数；
（3）根据频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，月均用水量在的频率为．
同理可得，月均用水量在，，，，，的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．
由，解得．
（2）由（1）知，该市1000位居民月均用水量低于3t的频率为．
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量低于3t的人数为．
（3）设中位数为．因为前5组的频率之和为，
而前4组的频率之和为，所以．
由，解得．
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04t．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可；
（2）首先证明出四边形为矩形，从而得到，，再利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质定理得到，再次证明平面，从而，最后利用三角形中位线性质和面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）因为平面底面，，
平面底面，平面，
所以底面.
（2），，为中点，
，则四边形平行四边形，
，所以四边形为矩形，
，.
底面，平面，.
又平面，且，
平面，平面，.
和分别是和的中点，，.
又，，平面，
平面，平面，
平面平面.
19．(1)
(2)①；②
【分析】（1）由正弦定理化简求值即可.
（2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可.
②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可.
【详解】（1），
由正弦定理得：，
展开得：，
，而,，
故，
，，
，故．
（2）
①，
，
，
，
，
根据余弦定理：，
，
令，
则
，
则当且仅当时等号成立，
解得：时，
时，取最小值．
②为的角平分线
在中，由正弦定理得，
即，
,,
，
．
又，
，
则
当且仅当，即等号成立.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
B
B
B
A
D
BC
CD
题号
11









答案
ACD