重庆市荣昌中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟；总分：150 分）
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 设复数 z 满足 （ 是虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在
下图分布形态中， 、 、 分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在棱长为 1 的正方体 中， 为线段 上的动点，下列说法不正确的是（ ）
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A. 对任意点 ， 平面
B. 三棱锥 的体积为
C. 线段 长度的最小值为
D. 存在点 ，使得 与平面 所成角的大小为
6. 已知一个正四棱锥的底面边长为 ，内切球的体积为 ，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D. 16
7. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，
，则角 （ ）
A. B. C. D.
8. 设向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 1
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 某科研院所共有科研人员 200 人，统计得到如下数据：
研究学
数 物 化 生 合 科
学 理 学 物 计 性别
女 15 10 24 31 80
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男 45 40 18 17 120
合计 60 50 42 48 200
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取 40 名科研人员进行调查，那么（ ）
A. 若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取 12 人
B. 若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取 20 人
C. 若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取 10 人
D. 若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员
10. 已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， 在 上的投影向量为 D. 当 与 的夹角为锐角时， 的取值范围为
．
11. 如图， 是边长为 2 的正方形， 都垂直于底面 ，且
，点 在线段 上，平面 交线段 于点 ，则（ ）
A. 四点不共面
B. 该几何体的体积为 8
C. 若 中点为 为 的四等分点（靠近 ），则 三线共点
D. 截面四边形 的周长的最小值为 10
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. 某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为 480，40，120 和 80，
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现采用分层抽样的方法从这些学生中选出 72 人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为
____________.
13. 香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的
高度 ，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物 ，高约为 15m，在地面上点 E 处（A，C，E 三点共线）
测得建筑物顶部 B，香霏楼顶部 D 的仰角分别为 和 ，在 B 处测得塔顶部 D 的仰角为 ，则香霏楼
的顶部与地面的距离约为________ m..
14. 如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直．点 在正方形 及其内部运动，点 在
矩形 及其内部运动，设 ，若 ，则四面体 体积的最大值为______．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知向量 ， 满足 ， ， ．计算
（1） ；
（2） ．
16. 在 中，内角 所对的边分别为 的面积为
.
（1）求角 大小；
（2）若 的平分线 交 于点 ，求 的长度.
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17. 某学校为提高学生对《红楼梦》 了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽
取 100 份作为样本，将样本数据（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：
，并作出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）求样本数据 第 62 百分位数；
（3）若落在 中的样本数据平均数是 52，方差是 6；落在 中的样本数据平均数是 64，方差
是 3，求这两组数据的总平均数 和方差 .
18. 在四棱锥 中， ， ， 平面 ，
分别为 的中点， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性 重要指标．设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点 P 处的离散
曲率为 ，其中 为多
面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面
体 M 的所有以 P 为公共点的面．已知三棱锥 如图所示．
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（1）求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若 平面 ABC， ， ，三棱锥 在顶点 C 处的离散曲率为 ，求
点 A 到平面 PBC 的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点 Q 在棱 PB 上，直线 CQ 与平面 ABC 所成角的余弦值为 ，求 BQ 的长
度．
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