重庆市荣昌中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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数学试卷
满分:150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，且，则等于（ ）
A. B. C. 9D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，且，
故，
故选：C
2. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得，得的，即可求解.
【详解】由，是与向量方向相同的单位向量，向量在方向上的投影向量为，
可得，所以，则，
因为，所以.
故选：B.
3. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理得，又，代入面积公式计算即可.
【详解】因为，，
所以，
则，
故选：D.
4. 如图在边长为1正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则＝（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，
＝(4，1)，＝(2，3)，
＝4×2＋1×3＝11，
故选：B.
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
5. 在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. 15B. 12C. 16D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解.
【详解】因为，，且面积为，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，则.
故选：A
6. 在△ABC中，M是BC的中点，，则AC＝（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】在△ABM中，先求出BM长，再利用M为BC中点，求出BC长，再在△ABC中，利用余弦定理求出AC即可.
【详解】
如图，在△ABM中，，
即，
又
又M是BC的中点，所以，
在△ABC中，
所以，
故选：A.
7. 在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （ ）
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
【答案】B
【解析】
【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.
【详解】不妨设，，，，，
① ，，若，∴，
∴，满足条件的明显存在，∴①成立；
② F为AB中点，，与交点即重心，
∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立；
故选：B
8. 在中，点D满足且，则当角A最大时，csA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得到点的轨迹，利用圆的切线的几何性质求得最大时，的值.
【详解】由于，所以在以为直径的圆上（除两点）.
所以当直线与圆相切时，最大.
当直线与圆相切时，，
由于，设，则，.
，.
故选：C
【点睛】本题的关键条件为“”，由此可以判断出点的轨迹，从而可结合圆的切线的几何性质来进行求解.
二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 若，为单位向量，则
C. 若∥、∥，则∥
D. 对于两个非零向量，，若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】A项，由相反向量与加法运算几何意义可得；B项，单位向量，的方向不一定相同；C项，由零向量的规定它与任何向量共线可得；D项，两边平方展开化简可得.
【详解】选项A，根据相反向量，知，故A正确；
选项B，由，为单位向量，即，而，方向不一定相同. 故B错误；
选项C，规定零向量与任意向量共线，
即当时，则∥，且∥均成立，
而，为任意向量，它们不一定共线，故C错误；
选项D，由得，，
则，整理得，
又已知，是两个非零向量，故. 故D正确；
故选：AD.
10. 已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，1)，＝(2，t)，下列说法正确的是（ ）
A. 若(＋)∥，则t＝6B. 若(＋)⊥，
C. |＋|≥3D. 若，则＋与的夹角为钝角
【答案】BC
【解析】
【分析】根据，由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的夹角、向量共线的坐标运算求解即可，判断选项.
【详解】由，则，
对于选项A，若，则，故A错误；
对于选项B，若，则，故B正确；
对于选项C， ，故C正确；
对于选项D，若,则，但，，与的夹角为，不是钝角，故D错误.
故选：BC
11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则b的取值范围是
D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
【答案】BCD
【解析】
【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】选项A，因为，即，
所以有
整理可得，所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确.
选项C，如图，若有两解，则，
所以，则b的取值范围是，故C正确．
选项D，的平分线交于点D，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，
即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设平面向量，点，则点B的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】由向量加减法的三角形法则可得.
【详解】设，则，
点的坐标为.
故答案为：
13. 为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km处不能收到手机信号，检查员抽查某区一考点，在考点正西km有一条北偏东方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，如果以每小时12km的速度沿公路行驶，则最长需要______分钟检查员开始收不到信号.
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，得到，利用正弦定理求得，进而求得，从而求得检查员行驶所需时间，由此得解.
【详解】依题意，设为考点，为公路，
设检查员行驶到公路上点之间时收不到信号，
即公路上两点到考点的距离为1千米，
在中，千米，千米，，
由正弦定理，得，
（不合题意），
，，
，最长经过5分钟检查员开始收不到信号.
故答案为：.
14. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；
（2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，
∴，
∴；
16. 已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．

（1）用表示向量；
（2）若，且，求的余弦值．
【答案】（1），．
（2）．
【解析】
【分析】（1）由平面向量加减运算求解；
（2）利用运算求解.
【小问1详解】
，
，
．
【小问2详解】
N，P，C三点共线，∴由得，
，即，
,即的余弦值为．
17. 在中，已知，；
（1）证明：为等腰三角形；
（2）若的面积为，点在线段上，且，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将角化边即可得到，再由余弦定理求出，即可得证；
（2）由面积公式求出，即可得到、，又，根据数量积的运算律及定义计算可得.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，即，
又∵，，即，∴，
∴为等腰三角形
【小问2详解】
∵，，所以，
又，∴（负值舍去）.
∴，，
又∵点在线段上，且，
∴，
∴，
则
，
∴的长为.
.
18. 在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若
（1）求的面积;
（2）若，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理解出的长，再利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）利用两次正弦定理得到，，两式相比得，再结合同角平方和关系即可解出，再代回正弦定理式即可得到答案.
【小问1详解】
在中，，
即，解得(负根舍)，
所以.
【小问2详解】
因为，平分，所以，
又，所以，
在中，由正弦定理，得，①
在中，由正弦定理，得，②
①②，得，所以，
又，且，所以，
将代入②，得，所以.
19. 已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点Р在斜坐标系中的坐标.

今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，，设
（1）计算大小；
（2）质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；
②若时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
【答案】（1）
（2）①；②小时后，两质点相距最短，最短距离为米.
【解析】
【分析】（1）先依题意可得，再利用进行求解；
（2）①根据题意可得；
②根据题意可得，则，
再利用二次函数的性质求最小值即可.
【小问1详解】
因，，所以，
又，所以，
所以，
即的大小为.
【小问2详解】
①如图所示：

依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点左边），且有，
质点乙到达D点，且有，故.
②时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，
如图所示：

，，则，
所以两质点间的距离
，
因为，所以当时，取得最小值为，
所以小时后，两质点相距最短，最短距离米.