四川省乐至中学2024~2025学年高一下册4月月考数学试题【附解析】

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一.选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.）
1. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示即可计算求解.
【详解】，.
故选：C
2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由坐标判断象限即可.
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限.
故选：B
3. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用求解最小正周期，再代入验证，是否是对称轴，对四个选项一一判断.
【详解】A选项，的最小正周期为，
且当时，，故图象关于直线对称，A正确；
B选项，的最小正周期为，B错误；
C选项，当时，，故图象不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，故图象不关于直线对称，D错误.
故选：A.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可得的值，再由二倍角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故选：C
5. 在中，，为线段的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及共线定理可得参数值，进而可得解.
【详解】
由已知，则，
又为线段的中点，
所以，
所以，
即，，
所以，
故选：C.
6. 在中，，则的面积为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】由余弦定理得，
且，所以，
所以．
故选：B
7. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解.
【详解】由，得，而，，
由余弦定理得（米）.
故选：C
8. 已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据模长关系可得，设，分类讨论点与直线的位置关系，结合圆的性质即可得结果.
【详解】由题意可知：，
因为，
即，则，
可得，且，所以，
设，
则，
由题意可知：，
若位于直线两侧，且，可知四点共圆，
且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点，
则的最大值即为圆的直径；
若位于直线同侧，且，可知四点共圆，
且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点，此时；
综上所述： 的最大值为2
故选：A.
二、选择题（本大题共3道小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.）
9. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数图象的伸缩与平移变换规律即可得出结果．
【详解】先平移后伸缩：
函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得；
先伸缩后平移：
函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即．
故AD符合题意.
故选：AD．
10. 下列结论中，错误的是（ ）
A. 表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B. 若，则，不是共线向量；
C. 若，则四边形是平行四边形；
D. 与同向，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误.
故选：BCD.
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦化简判断A；利用余弦定理推理判断B；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，由及正弦定理得，即，
则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误；
对于B，由，得，则是的最大内角，
又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确；
对于C，由，及余弦定理得，
当且仅当时取等号，因此，C正确；
对于D，取，满足，而，则，即，D错误.
故选：BC
三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共计15分.）
12. 若复数满足，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】应用复数除法的几何意义及模长求法求结果.
【详解】由题设，则.
故答案为：
13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由投影向量定义结合向量坐标运算即可计算求解.
【详解】由题在上的投影向量为.
故答案为：
14. 月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为__________米；三个区域的总面积为_____________________平方米.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空：利用圆周长公式和扇形的弧长公式即可求解；第二空：利用圆的面积及扇形的面积公式即可求解.
【详解】为大圆的内接等腰直角三角形，为大圆的直径，
大圆的半径为1米，米，
，，
区域Ⅲ的周长为；
根据月牙定理可知，区域Ⅰ、Ⅱ的面积之和为，
区域Ⅲ的面积为，
三个区域的总面积为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共5道小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 平面内给定三个向量，，.
（1）求；
（2）若，求实数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算求，即可得模长；
（2）根据向量坐标运算求，，再结合向量垂直的坐标表示分析求解.
【小问1详解】
因为，，则，
所以.
【小问2详解】
因为，则，，
又因为，
则，解得.
16. 如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．
（1）求AC的长；
（2）若CD＝5，求AD的长．
【答案】（1）3，（2）7
【解析】
【分析】（1）在△ABC中直接利用正弦定理求解即可；
（2）先求出，然后在中利用余弦定理求解即可
【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，,
则，
（2）因为∠ACB＝60°，所以,
在中，由余弦定理得，
【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题
17. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由值求值，即可求出；
（2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值.
【小问1详解】
由，可得，
.
【小问2详解】
由 ，可得，
又，
，
，
由，可得.
18. 已知函数.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）在中，，，分别为角，，的对边，，，求的周长的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用两角和正弦公式结合辅助角公式化简，再根据正弦函数的增区间计算；
（2）先根据已知求出角，再应用余弦定理结合基本不等式计算求解
【小问1详解】
由，得：，，
函数在上的单调递增区间为，；
【小问2详解】
由得：，
，，，，
由余弦定理知，
（当且仅当时等号成立），
又，，.
19. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．
（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高（用表示）；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于函数表达式，并求出的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3），最小值为
【解析】
【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解；
（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；
（3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.
【小问1详解】
当时，，
所以，
又
所以是等边三角形，所以，
所以在中，，即，
所以；
【小问2详解】
，，，
中，由正弦定理得，
所以
所以
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，所以；
【小问3详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
故关于的函数表达式为，最小值为.