四川省乐至中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省乐至中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共19页。
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域是（ ）
A B.
C. D.
3. 把函数图象上的所有点（ ）可得到函数的图象.
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
4. 设函数则（ ）
A. B. 1C. D. 5
5. 函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7. （ ）
A. B. C. D. 1
8. 设，，，则有（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题本大题共3道小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则
B. “”是“”的充要条件
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D. 若角为锐角，则角为钝角
10. 对于函数给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的定义域为
C. 函数在上的最大值为
D. 函数的最小正周期为
11. 已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 函数上单调递减
C. 是函数图象的一个对称中心
D. 若方程在上有两个不等实根，则
三、填空题本题共3道小题，每小题5分，共计15分.
12. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则__________．
13. 如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______．
14. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为________.
四、解答题本题共5道小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简；
（2）计算：.
16. 已知函数的最小正周期为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数对称轴及对称中心.
17. 已知，且
（1）求值；
（2）求的值．
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值及相应的的值.
（3）若方程在区间上存在从小到大的三个根，依次为，，，求的值.
19. 已知函数.
（1）当时，求值；
（2）若在上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对任意，均成立，求a的取值范围.
乐至中学高2027届第二学期第一次月考
数学试题
一、选择题本大题共8道小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.
1. （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次根式的被开方数非负进行求解即可.
【详解】由题意得，解得或．
故选：B．
3. 把函数图象上的所有点（ ）可得到函数的图象.
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得.
【详解】因为，
所以把函数图象上的所有点向右平移可得到函数的图象.
故选：D.
4. 设函数则（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的余弦值和诱导公式，结合代入法进行求解即可.
【详解】，
故选：D
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性结合特殊的函数值可判断得解.
【详解】易知是偶函数，排除，
又且，排除C.
故选：D.
6. 已知，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案.
【详解】因为，则，
且，可得，
所以.
故选：A.
7. （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可.
【详解】原式
.
故选：A
8. 设，，，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式化简，再由倍角公式化简，，再结合正弦函数的单调性即可比较大小．
【详解】由，
，
．
又在时为增函数，
则，
所以．
故选：B．
二、选择题本大题共3道小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.
9. 下列说法正确是（ ）.
A. 若，则
B. “”是“”的充要条件
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D. 若角为锐角，则角为钝角
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质可得选项A正确；根据充分条件、必要条件的概念可得选项B错误；根据扇形的弧长及面积公式可得选项C正确；举反例可说明选项D错误.
【详解】A.∵，∴，∴，A正确.
B.由得，由得，
∴“”是“”的充分不必要条件，B错误.
C.设扇形半径为，圆心角为，弧长为，面积为，
由得，，
∴，C正确.
D.当时，为锐角，，为锐角，D错误.
故选：AC.
10. 对于函数给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的定义域为
C. 函数在上的最大值为
D. 函数的最小正周期为
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，求出函数对称中心判断；对B，求出函数的定义域判断；对C，根据正切函数的单调性求出函数值域判断；对D，利用周期公式求出周期判断.
【详解】对于A，由，令，得，
所以的对称中心为，故A错误；
对于B，由题得，即，
所以函数的定义域为，故B正确；
对于C，当时，，所以，
所以函数在上的最大值为，故C正确；
对于D，函数的最小正周期为，故D错误.
故选：BC.
11. 已知为偶函数，其图象与直线其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递减
C. 是函数图象的一个对称中心
D. 若方程在上有两个不等实根，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题知，，再结合余弦函数的性质与图象依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：因为为偶函数，所以，
因为图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为，
所以，的最小正周期为，
所以，即，
所以，，故A选项正确；
当时，，此时函数为单调递减函数，故函数在上单调递减，B选项正确；
当时，，此时不是函数的对称中心，故C选项错误；
当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以，当方程在上有两个不等实根时，，即，故D选项正确.
故选：ABD
三、填空题本题共3道小题，每小题5分，共计15分.
12. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，由三角函数的定义即可求解.
【详解】由题意知，
．
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数定义的应用，属于基础题.
13. 如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，，且，利用乘“1”法，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为函数的图象经过点，则，即，
由图像可知，且，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】通过辅助角公式化简函数解析式，求出函数在上的值域，问题转化为，解不等式可得结果.
【详解】由题意得，
，
∵，∴，故，
∴当时，，
∵对于任意的，恒成立，
∴，∴，
∴，即的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题本题共5道小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简；
（2）计算：.
【答案】（1）；（2） 0
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用诱导公式，即可求解；
（2）根据条件，利用对数的运算，即可求解.
【详解】（1）
（2）原式.
16. 已知函数的最小正周期为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数对称轴及对称中心.
【答案】（1）
（2）对称轴为直线，对称中心为
【解析】
【分析】（1）根据条件求得，，由此可得函数解析式.
（2）利用整体代入法可求函数的对称轴和对称中心.
【小问1详解】
由题意得，，解得，
∴，解得，
∴.
【小问2详解】
由，，得，，
由，，解得，，
∴的对称轴为直线，，对称中心为.
17. 已知，且
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系式求出，然后利用二倍角公式即可求值；
（2）先求，再由，运用两角差的余弦公式，注意到的范围，计算得到结果.
【小问1详解】
由，
得
所以．
于是
【小问2详解】
因为
所以
所以
因为，
所以,所以
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值及相应的的值.
（3）若方程在区间上存在从小到大的三个根，依次为，，，求的值.
【答案】（1），单调递增区间为，
（2）时，有最大值
（3）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式得，再利用周期公式及的图象与性质，即可求解；
（2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求解；
（3）令，利用的图象与性质，得到，，即可求解.
【小问1详解】
，
故，又由，，
得到，，
故函数的单调递增区间为，.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
则，得到，当且仅当，即时，取到最大值，
所以在区间上的最大值为，此时.
【小问3详解】
令，由题知方程在上有三个根，
结合正弦函数，其图象如图所示，在上的图像及对称性，得，，
所以，，
解得，，
所以.
19. 已知函数.
（1）当时，求的值；
（2）若在上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对任意，均成立，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两角和的正弦公式展开计算；
（2）令换元，化为关于的二次函数，利用复合函数的单调性求解；
（3）利用（2）中新函数，注意，问题转化为，然后利用二次函数的性质分类讨论求解．
【小问1详解】
当时，；
【小问2详解】
，
令，
则，
则，
当，时，，则，且t关于x单调递增，
因为在是单调递增的，所以在，单调递增，
则有，解得.
【小问3详解】
对于任意的，，均有，则有，
即，，有，
①当，则有，
即，
解得，又因为，则无解；
②当，则有，
即，解得，又因为，则无解；
③当，即时，则有，
即，解得，
④当，即时，则有，
即，解得，
综上，.