四川省阆中中学校2024~2025学年高一下册4月期中数学试题【附解析】

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（满分：150分 时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换法则即可求出．
【详解】因为，
所以把函数图象上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】.
故选：C.
3. 已知平面向量，若，则实数（ ）
A. B. 1C. 或1D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算求得的坐标，再根据，利用数量积运算求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，
所以，整理得，解得或.
故选：C.
4. 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.
【详解】由，的夹角为，得，
所以在上的投影向量是.
故选：B
5. 在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得.
【详解】由，，所以，
由题意，则，
由.
故选：A
6. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理代入计算即可.
【详解】由余弦定理可知，
又因为，所以可得.
故选：A
7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A. 2B. 8C. 9D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
8. 已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将看成整体角，求出其范围，利用函数在上单调递增得不等式，求出，再根据缩小范围为；接着根据对任意，都有，结合正弦函数的图象得不等式，求得，由，缩小范围为，最后求交即得.
【详解】由，得，依题意，
，解得（*）.
又又，则，故由（*）得，时，即①.
由，得，因对任意，都有，
则，解得，
因为，故时，即②.
综合①，②，可得的取值范围为.
故选：A.
二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分，选错不得分）
9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，，则的取值范围为
C.
D. 若，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】A考查数量积的定义.B考查向量绝对值不等式，.C，向量不满足交换律.D，向量不满足消去律.
【详解】A．，故A正确.
B．，故B正确.
C．是与共线，是与共线，故C错误.
D．因为 ，，且，
因为，
即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误；
故选：AB.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象的对称轴方程为
D. 函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】AC
【解析】
【分析】求出函数的周期可判断A；求出的单调增区间可判断B；求出函数的图象的对称轴方程可判断C；根据图象平移规律可判断D．
【详解】对于A，函数的周期为，故A正确；
对于B，由，得，
所以的单调增区间为，故B错误；
对于C，令，则，
所以函数的图象的对称轴方程，故C正确；
对于D，函数向右平移个单位长度得到
，故D错误．
故选：AC．
11. 已知函数若关于的方程有四个实数根，，，（其中为实数，），则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将方程根的问题转化为函数交点的问题，结合函数图象求解参数范围判断A，利用函数的对称性判断B，利用对数函数的性质判断D，利用给定条件并结合基本不等式判断C即可.
【详解】对于A，如图，结合函数的图象，令，得或或，
若直线与函数的图象有4个不同交点，
由图象知，故A正确；
对于B，令，解得，
令时，对称轴为，故与关于对称成立，
由函数的对称性质得，解得，故B正确；
对于D，由题意得，
因为，所以，，
则，得到，
即，得到，整理得，故D正确；
对于C，结合图象可知，于是，
当且仅当时取等，但本题无法取等，解得，
即，因此结合重要不等式得到，故C错误．
故选：ABD．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知，若与的夹角为钝角，则的范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用，求得，再由向量与共线时，列出方程，求得，进而得到实数的取值范围.
【详解】由向量，且与的夹角为钝角，
可得，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为.
故答案为：.
13. 已知，则______．
【答案】-1
【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】将平方可得①，
将平方可得②，
将①②两式相加可得，
所以.
故答案为：-1
14. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解．
【详解】如图所示：

连接，设，作，，垂足分别为．
根据平面几何知识可知，，，．
所以，．
故四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，其中．
所以当即时，．
故答案为：．
四、解答题（共77分）
15. 设两个非零向量与不共线．
（1）若．求证：A、B、D三点共线；
（2）若和共线，求实数k的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；
（2）由共线定理可知，存在实数λ，使，利用向量相等，即可求解值.
【小问1详解】
，
，
与共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线．
【小问2详解】
和共线，
存在实数，使．
与不是共线的两个非零向量，，即．
16. 已知，其中
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可．
（2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解．
【小问1详解】
由题意得：
，，
，
【小问2详解】
，，
，
.
17. 已知的内角的对边分别是，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理，
，因为，所以，因此有，
因为，所以；
（2）由余弦定理可知：
，解得，
（舍去），因此的面积为.
18. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数单调递增区间和对称轴方程；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数，
（2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解；
（3）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解.
【小问1详解】
，
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以.
【小问2详解】
令，
则，
所以的单调递增区间为;
令, 解得,
即的对称轴方程为.
【小问3详解】
由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，
所以的取值范围是
19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量，
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：．
（3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可；
（2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由三角形内角和为以及两角和与差的正弦公式求得以及，作比可求出结果；
（3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得.
【小问1详解】
因为，
则，故.
【小问2详解】
依题意，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
【小问3详解】
依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数取值范围为.