上海市吴淞中学2024~2025学年高一下册期中考试数学试卷

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1. 函数的最小正周期为 ．
2. 已知，则复数为 ．
3.如果，且为第四象限角，则的值是 ．
4.已知向量，，若，则实数 ．
5.若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为 .
6.已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________．
7.已知复数满足，其中为虚数单位，则 ．
8. 如图，直角是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______．

9. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数_______.
10. 已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______.
11.如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点.若DE=λ2AB+2μAD(λ,μ∈R)，则λ+μ=__.
12. 已知,函数上的最大值为,则的最小值为 ．
二、选择题（每题3分，满分共12分）
13. 设 ､为复数，则是的 （ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
14. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题一定正确的是 （ ）
A. 与、都不相交 B. 与、都相交
C. 至多与、中的一条相交 D. 至少与、中的一条相交
15.要得到函数的图像，只需将函数的图像…… （ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
16.设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为1，则下列判断正确的是（ ）
A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定
C. 若确定，则唯一确定 D. 若确定，则唯一确定
三、解答题（满分共46分）
17．（满分共8分）如图，已知正方体的棱长为1.
若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.
18.（满分共8分）已知复数,其中为虚数单位.
(1)若复数为纯虚数,求的值；
(2)求的最小值.
19.（满分共8分）已知函数.
(1)若角的终边与单位圆交于点，求的值；
(2)当时，求的单调递增区间和值域.
20．（满分共10分）如图，我海监船在岛海域例行维权巡航，某时刻航行至处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的处有一外国船只，且岛位于海监船正东18海里处；
（1）求此时该外国船只与岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在离岛12海里的处（在的正南方向），不让其进入岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）.
21．（满分共12分）已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为.
(1)若，，，求的值；
(2)记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；
(3)若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明.