上海市吴淞中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市吴淞中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了11，已知向量，若，则_____，已知等比数列，，，则_____，不等式的解集为_____等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知向量，若，则_____.
2.已知等比数列，，，则_____.
3.的二项展开式中常数项为_____.
4.若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____.
5.已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于_____.
6.不等式的解集为_____.
7.在固定压力差(压力差为常数)的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率(单位:)与管道半径(单位:)的四次方成正比.若在半径为的管道中，某气体的速率为，则该气体通过半径为的管道时的速率为_____.(结果精确到)
8.已知圆与圆无公共点,则为取值范围是_____.
9.已知函数,存在,使得,则的值是_____.
10.柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下:，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为_____.
11.已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点,使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切,切点为线段的中点,则该双曲线的离心率为_____.
12.已知为空间中三个单位向量,且,若向量满足,，则向量与向量夹角的最小值为_____，(用反三角表示)
二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑。
13.小何同学喜欢踢足球,已知他踢点球进门的概率是,一次点球训练中,他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为( ).
A. B. C.1 D.介于和1之间的某个实数
14.如图，在平行六面体中，设，若组成空间向量的一个基，则可以是( ).
第14题
A. B. C. D.
15.无穷等差数列的首项为,公差为,前和为,则“”是“为严格递增数列”的( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
16.给定四面体.平面满足:、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧;②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此楼的中点或两个三等分点之一.设四个点到平面的距离分别为,那么的所有不同值的个数组成的集合为( ).
A. B. C. D.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分。
已知函数的表达式.
(1)若函数是奇函数，求实数的值；
(2)若存在，满足方程，求的取值范围。
18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图，四边形为长方形，平面，，.
(1)若、分别是、的中点，求证:平面；
(2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为?若存在,求长;若不存在,说明理由.
19.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分，第3题满分6分.
请解决下列问题:
(1)已知事件与互斥，，且，求.
(2)证明:如果两个事件与相互独立，那么与也独立；
(3)甲乙两个人比赛，对于弱者甲(赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为)来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？，请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式,指先赢得两局者为胜,最多三局结束)
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点.
(1)若直线，求两点坐标；
(2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是,请说明理由;
(3)如果，原点到直线的距离为，求的取值范围.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于函数,.如果是满足的最小正整数,则称是函数的“最小导周期”
(1)已知函数，其中，
求证:对任意实数,都有;
(2)设，，若函数的最小导周期为记，当实数变化时，求的最小值；
(3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得,证明:,且.
上海市吴淞中学2025-2026学年第一学期高三数学学科期中考试(试卷)
(考试时间120分钟满分150分)2025.11
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知向量，若，则_____.
解析：
2.已知等比数列，，，则_____.
解析：为等比数列
3.的二项展开式中常数项为_____.
解析：的二项展开式中常数项为
4.若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____.
解析：因为是关于的方程的一个根,
所以另外一根为
5.已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于_____.
解析：中,最大的边长为7
边长为7的边所对应的角最大,设最大的角为
由余弦定理可得:
又为三角形的内角
6.不等式的解集为_____.
解析：设,其定义域为
易知在上单调递增
因为在上单调递增，所以，又因为定义域为
所以不等式的解集为
7.在固定压力差(压力差为常数)的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率(单位:)与管道半径(单位:)的四次方成正比.若在半径为的管道中，某气体的速率为，则该气体通过半径为的管道时的速率为_____.(结果精确到)
解析：由题意可设
又
即
当时，
即该气体通过半径为的管道时的速率为.
8.已知圆与圆无公共点,则为取值范围是_____.
解析：由题意得圆的圆心坐标为,半径为圆的圆心坐标为,半径为1,则
因为两圆无交点,所以两圆外离或内含
若外离：
若内含：
综上：
9.已知函数,存在,使得,则的值是_____.
解析：
当时，，所以；
当时，，所以；
综上：或
10.柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下:，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为_____.
解析：因为，则该学生的成绩为从小到大排列的第3个，
所以该生的成绩为
因为
所以方差为
11.已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点,使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切,切点为线段的中点,则该双曲线的离心率为_____.
解析：设双曲线的左焦点为，右焦点为
由题意，垂直于且，得
所以
根据双曲线定义，
则,解得
离心率
12.已知为空间中三个单位向量,且,若向量满足,，则向量与向量夹角的最小值为_____，(用反三角表示)
解析：由题可设,
则,
所以
两式相减可得:,再代入第一个式子,
可得:
设向量与向量夹角为
则
易知对于当，即取得最大值,
此时取得最大值
即的最大值为时取得
所以的最小值为
二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑。
13.小何同学喜欢踢足球,已知他踢点球进门的概率是,一次点球训练中,他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为( ).
A. B. C.1 D.介于和1之间的某个实数
解析：他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为；
故选A.
14.如图，在平行六面体中，设，若组成空间向量的一个基，则可以是( ).
第14题
A. B. C. D.
解析：符合题意；
故选B.
15.无穷等差数列的首项为,公差为,前和为,则“”是“为严格递增数列”的( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
解析：因为等差数列的首项为,公差为
所以
当时，得不到，所以充分性不成立；
当为严格递增数列，则，必要性成立；
故选B.
16.给定四面体.平面满足:、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧;②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此楼的中点或两个三等分点之一.设四个点到平面的距离分别为,那么的所有不同值的个数组成的集合为( ).
A. B. C. D.
解析：若平面平行于四面体的一个平面,则有1个值(过三条棱中点)
或2个值(过三条棱同一个位置的三等分点);
若平面过一条棱的三等分点,另外两条棱相对位置的三等分点,
则有3个值;
对于有4个值的情况,并不存在
故选C.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分。
已知函数的表达式.
(1)若函数是奇函数，求实数的值；
(2)若存在，满足方程，求的取值范围。
解析：(1)因为函数是奇函数
的定义域关于原点对称
由
则
所以
(2)
令
18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图，四边形为长方形，平面，，.
(1)若、分别是、的中点，求证:平面；
(2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为?若存在,求长;若不存在,说明理由.
解析：(1)证明:如图建立空间直角坐标,则,
取平面的法向量
且在平面外
平面
(2)设，则
取平面的法向量
设与的夹角为
则
求得
边上存在点,使得直线与平面所成的角为
19.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分，第3题满分6分.
请解决下列问题:
(1)已知事件与互斥，，且，求.
(2)证明:如果两个事件与相互独立，那么与也独立；
(3)甲乙两个人比赛，对于弱者甲(赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为)来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？，请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式,指先赢得两局者为胜,最多三局结束)
解析：(1)因为事件与互斥，所以
(2)如果两个事件与相互独立
所以与也独立
(3)若一局定胜负，甲赢的概率为；
若三局两胜，甲赢的概率为；
因为甲是弱者，所以
所以
所以一局定胜负对甲有利
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点.
(1)若直线，求两点坐标；
(2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是,请说明理由;
(3)如果，原点到直线的距离为，求的取值范围.
解析：(1)
(2)设直线的方程为，，
联立，得
所以
所以
(3)设直线的方程为，，
联立，
因为
所以
因为
所以
所以
，
，
，
，
所以
若，则不成立
所以
代入，可得
化简得恒成立，
原点到直线的距离
所以
所以的取值范围为
21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于函数,.如果是满足的最小正整数,则称是函数的“最小导周期”
(1)已知函数，其中，
求证:对任意实数,都有;
(2)设，，若函数的最小导周期为记，当实数变化时，求的最小值；
(3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得,证明:,且.
解析：(1)证明:因为,
所以,对任意实数,都有.
(2),
由题意知,对任意实数恒成立,
令,则,即,
令,则,则,
所以或.
若,则,最小导周期不是2,矛盾;
若,则,,最小导周期为2,符合要求,所以
可视为点与点之间的距离
当实数变化时,点在直线上运动,
点在曲线上运动
因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值
而曲线在直线上方
平移直线使其与曲线相切，则切点到直线的距离即为所求.
设切点,切线斜率,得,切点为,
点到直线距离
即的最小值为
(3)解:
记,即
由在上恒成立及存在使,可知是函数的极大值点,于是
则①
又,则②
，得，则
又因为
所以,由得
又因为
所以
有，于是
所以