上海市吴淞中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份上海市吴淞中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了04，的展开式中常数项是______等内容，欢迎下载使用。

一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．双曲线的右焦点坐标是______．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______．
3．的展开式中常数项是______．
4．已知为正整数，且，则______．
5．设等比数列的前项和为，若，，则______．
6．设随机变量服从正态分布，若，则______．
7．函数的图像在点处的切线的倾斜角为______．
8．市场上某种商品由三个厂家同时供应，甲厂家的供应量是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家的供应量相等，且甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为，，，则市场上该商品的次品率为______．
9．甲乙两位游客慕名来到上海旅游，准备分别从迪士尼、滴水湖、外滩和金茂大廈4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择迪士尼，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率______．
10．已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为______．
11．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为．该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴2000元，该市区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为______万元（参考数据：取）
12．已知实数、、、满足，则的最小值为______．
二．选择题（本大题共4题，满分20分）
13．“”是“直线与垂直”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
14．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）种
A．120B．90C．60D．30
15．已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是（ ）
①在黄金椭圆中，；
②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为、，则；
③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，．
A．0B．1C．2D．3
三．解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和．
18．正方体的棱长为1．
（1）为中点，求异面直线与所成的角的大小；
（2）求二面角的大小．
19．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分．某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．
（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与所持态度有关；
（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望．
参考数据：
参考公式：
20．已知函数．
（1）已知时函数的极值为3，求和的值；
（2）已知在上是严格增函数，求的取值范围；
（3）设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．已知点在抛物线上，点为的焦点，且．过点的直线与及圆依次相交于点、、、，如图．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求证：为定值；
（3）过、两点分别作的切线、，且与相交于点，求与的面积之和的最小值．
参考答案
一．填空题
1． 2． 3．15 4．8 5． 6．0.8
7． 8．0.025 9． 10．30 11．1637.2 12．
【第11题】
由已知，
，
所以，则，即，
时，，估计应补贴（万元）
【第12题】
，，，设，，
则点在曲线上，在直线上，
设曲线上切线斜率为1的切点为，
，当时，，此时函数递增，
当时，，函数递减，故当时，，
直线在曲线上方，由，即，
记，显然在上是增函数，而，
是的唯一解．
，，点到直线的距离为，
的最小值为．
二．选择题
13．A 14．C 15．B 16．D
【第16题】
①，，，故①正确；②因为在中，，，，由①知，，所以，即，故②正确；③由题可知以，，，为顶点的菱形的内切圆是以原点为圆心，设圆心的半径为，所以，代入离心率得到，所以圆过焦点，，故③正确．故选：D．
三．解答题
17．解：（1）设等差数列的公差为，又因为，且，
所以，故．所以．
（2）由（1）可知，，又，所以．因为，可得，
．
18．（1）建系，，，，，
所以，，设异面直线与所成的角为，
则，所以异面直线与所成的角的大小为；
（2），，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，又二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为，故其大小为．
19．（1）完成列联表如下，
提出原假设：年龄与所持态度无关，确定显著性水平，
，，从而否定原假设，
故有的把握认为年龄与所持态度具有相关性．
（1）依题意，服从二项分布，故，
，，
，，
所以分布列如下表，
所以．
20．（1），，
依题意有：，解得，．
（2），在上是严格增函数，
在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以是上的严格减函数，
当时，，故，的取值范围为．
（3），，，
①当时，，是上的严格减函数，最小值为，不合题意；
②当时，，是上的严格减函数，最小值为，不合题意；
③当时，在上，，严格减，在上，严格增，，即，所以当时，存在．
21．解：（1）易知抛物线的焦点的坐标为，准线为，由抛物线的定义，得，故．所以，抛物线的方程为．
将代入的方程，得，所以点的坐标为：，或．
（2）由（1）知，又由条件知直线的斜率存在，设直线的方程为，并设，，则由得，
故，且，．
由抛物线的定义，可知，．又因圆的圆心为，半径为1，于是，．
所以．
（3）由得，而．故过点的抛物线的切线的方程为，即．①
同理，过点的抛物线的切线的方程为．②
由①，②可得：，．
即．
所以点到直线的距离为．
于是
故当，即直线为时，有最小值2．区
区
区
区
区
外来务工人员数
5000
4000
3500
3000
2500
留在当地的人数占比
分组区间
人数
30
75
105
60
30
支持态度人数
24
66
90
42
18
年龄在50周岁及以上
年龄在50周岁以下
总计
支持态度人数
不支持态度人数
总计
年龄在50周岁及以上
年龄在50周岁以下
总计
支持态度人数
60
180
240
不支持态度人数
30
30
60
总计
90
210
300
0
1
2
3
4