黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．－2B．－1C．－2iD．－i
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
6．顶点为，，，则为（ ）．
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
7．由于潮汐，某港口一天的海水水位（单位：）随时间（单位：h，）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为，最低水位为，则该港口一天内水位不小于的时长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ）
A．B．C．2D．3
二、多选题
9．关于向量，下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
10．设，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则为共轭复数D．若，则的最大值为6
11．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
三、填空题
12．已知i是虚数单位，则 ．
13．已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为 .
14．如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点M，N分别在AB，BC上，，则最长为 m．
四、解答题
15．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．已知复数z满足．
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
17．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
18．若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值.
19．如图，在平行四边形ABCD中，Q是线段BC上的动点，且满足，P是CD的中点，设．
(1)用向量表示向量；
(2)设．
①求的值；
②求的面积．
1．C
根据向量减法的坐标运算可得.
【详解】因为，所以．
故选：C
2．B
根据题意，由复数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，所以z的虚部为．
故选：B
3．A
利用正弦定理代值计算即得.
【详解】由正弦定理，代值可得，
解得．
故选：A．
4．A
根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解.
【详解】因为，所以点．
因为点A与点B关于直线对称，
所以，
所以．
故选：A
5．C
由两角差的正切公式计算．
【详解】，
，
故选：C．
6．A
利用证得三角形是直角三角形.
【详解】依题意可知，
，与不恒等，
所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：A
7．C
根据题意，先求函数的解析式，再结合正弦函数的图象解不等式即可.
【详解】由题知，解得.
所以.
令，即.
因为，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得.
所以该港口一天内水位不小于的时长为小时.
故选：C
8．D
以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可.
【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系，
设，，
则，
所以，
则
，
故，
所以.
故选：D.
9．AB
依据向量加法的三角形法则可判断A，依据向量的概念可判断BC，依据平行向量的概念可判断D.
【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确；
当时，，B正确；
若和无法比较大小，C错误；
当时，与可能不共线，D错误.
故选：AB.
10．ABD
设，，根据共轭复数概念、复数乘法、复数模的坐标表示逐项判断AB；根据共轭复数的概念可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，设，则，A正确；
对于B，设，故
，
而，B正确；
对于C，，因为，
所以，即，但a与m不一定相等，C错误；
对于D，若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D正确．
故选：ABD
11．BCD
根据已知条件结合正弦定理边化角得到，利用三角形内角关系及两角和的正弦公式整理式子得到，判断A选项；根据，即三角形形状得到关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式即可求最值，即可判断C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D.
【详解】由正弦定理及，得，
即，，
整理得，又，，
所以，故，，A错误；
由，得，又为锐角三角形，
所以解得，B正确；
（当且仅当，即时取等号），C正确；
由，得，由正弦定理得：
即，
所以
.
又，所以，故，故D正确.
故选：BCD.
12．
由复数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】由的周期性可得，
，
故答案为：
13．
由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】设向量与的夹角为，
由题意可得，
则，又，则.
故答案为：
14．140
根据余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】在中，
由余弦定理，得，
所以．
在中，
由余弦定理得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）根据平方关系先求出，再由两角差的正弦公式求解；
（2）根据二倍角公式求解.
【详解】（1）因为，
所以.
所以.
（2）
.
16．(1)
(2)
（1）设且，根据复数的代数形式运算及复数相等求解；
（2）化简后，根据复数对应点所在象限列出不等式求解.
【详解】（1）令且，则，
所以，则解得
所以．
（2）由，得，
故在复平面内对应的点位于第三象限，则
解得，即实数m的取值范围为．
17．(1)
(2)
（1）由余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理及余弦函数的值域求解即可.
【详解】（1）由，得.
由余弦定理，得.
又，所以.
（2）因为，
所以，
所以
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
（1）求函数图象的对称轴和周期后后可求及，从而得函数解析式；
（2）利用整体法可求函数的单调增区间；
（3）根据图象变换得新图象对应的解析式，再根据对称轴可求参数的最小值.
【详解】（1）由，得，
所以是周期为6的函数，由，得，
所以是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
是的一条对称轴，所以.
因为，所以，
所以函数的解析式为.
（2）令，得，
所以函数的单调递增区间为.
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于轴对称，
所以，解得.
因为，所以时，取最小值，为.
19．(1)，，
(2)①；②
（1）根据题意，由平面向量基本定理结合向量的线性运算代入计算，即可得到结果；
（2）①由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果；②由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为P是CD中点，所以，
得．
由， 得 ，
又由向量的减法，得 ．
（2）①由，得，
则，
，
．
又，所以，
故，解得（舍去）或，所以．
②由①知，，
所以的面积．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
C
A
C
D
AB
ABD
题号
11









答案
BCD