2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市联谊校高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市联谊校高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某同学从2个田径项目和4个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有( )
A. 6种B. 8种C. 12种D. 16种
2.一质点做直线运动，其运动的位移x(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为x=t3+t，则t=3s时的瞬时速度为( )
A. 30m/sB. 28m/sC. 18m/sD. 15m/s
3.若3x+1xnn∈N∗的展开式中二项式系数和为128，则n=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.已知函数f(x)=2lnx+1x−f′(1)x，则f′(1)=( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
5.某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则E(X)=( )
A. 25B. 35C. 45D. 1
6.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.安排甲、乙、丙、丁4位老师到A,B,C三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去A学校、乙不去B学校工作的分配方案数为( )
A. 12B. 17C. 18D. 20
8.质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A=“这两个数都是素数”，事件B=“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)=( )
A. 1011B. 911C. 1315D. 4145
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于x−2 x6的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式共6项B. 各项系数之和为1
C. 不含常数项D. 系数最大项是240x4
10.设离散型随机变量X的分布列为：
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有( )
A. q=0.1B. D(X)=1.8C. E(Y)=4D. D(Y)=3.6
11.设f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数.若方程f″(x)=0有实数解x0，且在x0的左、右附近，f″(x)异号，则称点x0,fx0为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)=ax3+bx2+9x−4(ab≠0)的对称中心为(2,−2)，则下列说法中正确的是( )
A. a=1,b=6
B. f(x)的极小值为−4
C. 若函数f(x)在区间(m,4)上存在最小值，则m的取值范围为[0,3)
D. 若过点(3,m)可以作三条直线与y=f(x)的图象相切，则m的取值范围为(−5,−4)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=6a2,P(X=1)=a，则a= ．
13.(2x2+1)(x−1x)6的展开式中的常数项为 .(请用数字作答)
14.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(−1)=2，且f(x)+xf′(x)>0，则不等式2x2−3xf2x2−3x< −2的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x2+csx+a−1(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f′(0)+f′π2的值；
(2)若f(x)的最小值为−2，求a的值．
16.(本小题15分)
已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为45，23，34．
(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；
(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？
17.(本小题15分)
已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品．
(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？
(2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
18.(本小题17分)
2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值x；(同一组数据以该组区间的中点值作代表)
(2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分X服从正态分布N(μ,81)，其中μ近似为(1)中的样本平均值x，试估计得分超过95.8分的居民人数(结果精确到个位)；
(3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设Y为得分超过80分的居民人数，求Y的分布列和数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx−x+ax(a>0)．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求证：1+12+13+⋯+1n>ln(n+1)+n2(n+1)n∈N∗．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.A
5.C
6.A
7.B
8.A
9.BCD
10.AB
11.BCD
12.13
13.10
14.12,1
15.(1)由f(x)=x2+csx+a−1可得f′(x)=2x−sinx．
所以f′(0)+f′π2=0+π−1=π−1．
(2)法一：求导得f′(x)=2x−sinx，令g(x)=2x−sinx，
则g′(x)=2−csx>0，所以g(x)单调递增，且g(0)=0，
所以当x0,f(x)单调递增，
所以f(x)在x=0处取极小值，也是最小值，
即f(0)=0+1+a−1=−2，解得a=−2．
法二：因为f(−x)=(−x)2+cs(−x)+a−1=x2+csx+a−1=f(x)，
且定义域为R，所以f(x)=x2+csx+a−1是偶函数，
当x≥0时，f′(x)=2x−sinx，令g(x)=2x−sinx，
则g′(x)=2−csx>0，所以g(x)在0,+∞单调递增，所以g(x)≥g(0)=0，
所以f′(x)≥0,所以f(x)在0,+∞单调递增，
根据f(x)是偶函数，所以f(x)在(−∞,0]单调递减，
所以f(x)在x=0处取最小值，故f(0)=0+1+a−1=−2，解得a=−2．
16.解：(1)记随机抽取甲、乙、丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件B1，B2，B3，
则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，
则D=B1B2B3+B1B2B3+B1B2B3，
PD=PB1B2B3+PB1B2B3+PB1B2B3
=45×23×14+45×13×34+15×23×34=1330．
故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是1330．
(2)记事件B为购买的电器合格，
记随机买一件产品，买到的产品为甲、乙、丙三个品牌分别为事件A1，A2，A3，
PA1=25，PA2=925，PA3=625，P(B|A1)==45，P(B|A2)=23，P(B|A3)=34，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=25×45+925×23+625×34=3750．
故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为3750．
17.(1)第1次测试的是正品，从6件正品中选1件，有C61=6种选择．
第2次测试找到第一件次品，因为有2件次品，所以第2次测试的次品有2种选择．
第3次到第5次测试的是正品，从剩下的5件正品中选3件进行排列，有A53=5×4×3=60种选择．
第6次测试找到第二件次品，此时只剩下1件次品，所以只有1种选择．
根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为2×6×60×1=720种.
(2)测试2次就找到所有次品的情况：
第1次测试找到一件次品，有2种选择，第2次测试找到另一件次品，有1种选择，所以这种情况共有2×1=2种测试情况.
测试3次找到所有次品的情况：
第1次测试找到一件次品，有2种选择，第2次测试找到一件正品，从6件正品中选1件，有C61=6种选择，第3次测试找到另一件次品，有1种选择，这种情况共有2×6×1=12种测试情况．
第1次测试找到一件正品，从6件正品中选1件，有C61=6种选择，第2次测试找到一件次品，有2种选择，第3次测试找到另一件次品，有1种选择，这种情况共有6×2×1=12种测试情况.
根据加法原理，至多测试3次就能找到所有次品的测试情况数为2+12+12=26种.
18.(1)由题意得x=45×0.04+55×0.08+65×0.12+75×0.26+85×0.32+95×0.18=77.8；
(2)由(1)得X∼N77.8,92，
则P(X>95.8)=P(X>μ+2σ)=1−P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)2≈0.02275，
所以800×0.02275≈18，
故估计得分超过95.8分的居民约有18人．
(3)用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为(0.032+0.018)×10=0.5．
所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布．
故得分超过80分的居民人数Y可能的取值为0,1,2，且Y∼B2,12，
所以P(Y=k)=C2k×12k×1−122−k,k=0,1,2，
所以P(Y=0)=C20×122=14,P(Y=1)=C21×12×12=12,P(Y=2)=C22×122=14，
所以Y的分布列为
E(Y)=0×14+1×12+2×14=1．
19.(1)当a=2时，f(x)=2lnx−x+2x，∴f′(x)=2x−1−2x2，
∴f(1)=1,f′(1)=−1，
∴曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−1=−(x−1)，即x+y−2=0；
(2)∵f(x)=2lnx−x+ax(x>0)，∴f′(x)=2x−1−ax2=−x2+2x−ax2，
对于方程−x2+2x−a=0,Δ=4−4a，
当Δ=4−4a≤0，即a≥1时，−x2+2x−a≤0,f′(x)≤0，
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当Δ=4−4a>0，即00，
∴当x>x1或0