黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知，，那么等于， 顶点为，，，则为．， 关于向量，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：必修一第五章第五节开始到必修二第七章结束.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以．
故选：C
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. －2B. －1C. －2iD. －i
【答案】B
【解析】因为，所以，所以的虚部为．
故选：B
3. 在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理，代值可得，解得．
故选：A．
4. 已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为，且点与点关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以点．
因为点与点关于直线对称，所以，，
所以．
故选：A
5. 已知，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，
故选：C．
6. 顶点为，，，则为（ ）．
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】依题意可知，，
与不恒等，
所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：A
7. 由于潮汐，某港口一天的海水水位（单位：）随时间（单位：，）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为，最低水位为，则该港口一天内水位不小于的时长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题知，解得.
所以.
令，即.
因为，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得.
所以该港口一天内水位不小于的时长为小时.
故选：C
8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系，
设，，
则，
所以，
则
，
故，所以.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于向量，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确；
当时，，B正确；
若和无法比较大小，C错误；
当时，与可能不共线，D错误.
故选：AB.
10. 设，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则为共轭复数
D. 若，则的最大值为6
【答案】ABD
【解析】对于A，设，则，A正确；
对于B，设，故
，
而，B正确；
对于C，，因为，
所以，即，但a与m不一定相等，C错误；
对于D，若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D正确．
故选：ABD
11. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】由正弦定理及，得，
即，，整理得，又，，所以，故，，A错误；
由，得，又为锐角三角形，
所以解得，B正确；
（当且仅当，即时取等号），C正确；
由，得，由正弦定理得：
即，
所以
.
又，所以，故，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共小题，每小题5分，共15分.
12. 已知i是虚数单位，则______．
【答案】
【解析】由的周期性可得，，
故答案为：
13. 已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________.
【答案】
【解析】设向量与的夹角为，
由题意可得，
则，又，则.
故答案为：
14. 如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点分别在上，，，则最长为______m．
【答案】140
【解析】在中，由余弦定理得，
所以．
在中，由余弦定理得
，
所以，
当且仅当时等号成立，所以．
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因为，
所以.
所以.
（2）
.
16. 已知复数满足．
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围．
解：（1）令且，则，
所以，则解得
所以．
（2）由，得，
故在复平面内对应的点位于第三象限，则
解得，即实数m的取值范围为．
17. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由，得.
由余弦定理，得.
又，所以.
（3）因为，所以，
所以
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为.
18. 若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值.
解：（1）由，得，
所以是周期为6的函数，由，得，
所以是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
是的一条对称轴，所以.
因为，所以，
所以函数的解析式为.
（2）令，得，
所以函数的单调递增区间为.
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于轴对称，
所以，解得.
因为，所以时，取最小值，为.
19. 如图，在平行四边形中，是线段上的动点，且满足，是的中点，设．
（1）用向量表示向量；
（2）设．
①求的值；
②求的面积．
解：（1）因为是中点，所以，
得．
由， 得 ，
又由向量的减法，得 ．
（2）①由，得，
则，
，
．
又，所以，
故，解得（舍去）或，所以．
②由①知，，
所以的面积．